Pi (Primera parte)

¿Sabéis qué tenéis que hacer si alguna vez os encontráis con un extraterrestre y no sabéis de qué hablar, porque no entendéis su idioma y porque no tenéis ni idea de cuáles son los temas de conversación típicos de su planeta? Tenéis que decirle:

(bip, bip), (bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip)...

Cuando agotéis ese tema de conversación (al llegar a los 13 bips ya deberíais tener claro, el extraterrestre y vosotros, que estáis hablando de los números primos), podéis hacer el siguiente dibujo:

que refleja que cuando una rueda gira una vuelta completa recorre una distancia tres veces y "un poquito más" su diámetro, y podéis enseñarle a vuestro nuevo amigo el símbolo que nosotros utilizamos para referirnos a ese número que también aparece como el área de una circunferencia de radio 1,

y seguramente, en ese mismo instante él os enseñará el símbolo que utilicen en su planeta para referirse a uno de los objetos más fascinantes del Universo, el número p. ¡Las matemáticas son el lenguaje del Universo!

Nota: Esta introducción me ha salido un poco marciana porque últimamente estoy leyendo libros de ciencia ficción que van de este asunto.

La voz de su amo

Enlace a una entrevista sobre el tema

p nos acompaña a los seres humanos prácticamente desde que descubrimos la rueda y en cuanto empezamos a desarrollar las matemáticas intentamos calcularlo con exactitud. Uno de los métodos más simples y elegantes fue el utilizado por Arquímedes. Su idea consistió en aproximar el valor del área de una circunferencia de radio 1 (es decir, p), inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares (que son aquellos que tienen todos sus lados iguales). Por ejemplo, podemos empezar con el cuadrado:

Fijaos que el valor de p estará entre lo que valgan las áreas del cuadrado inscrito (que será menor) y el circunscrito (que será mayor). De hecho, esta es la segunda prueba:

Segunda prueba del reto de la camiseta. Calcula las áreas de los anteriores cuadrados (inscrito y circunscrito) para decir entre qué dos valores está p. Tenéis que contestar, únicamente la solución, en los comentarios de esta entrada y, luego en clase, enseñarme en papel las correspondientes explicaciones. Al final de la entrada os doy una pista.

Seguimos: naturalmente, cuantos más lados tenga el polígono que utilicemos, más se "pegará" a la circunferencia, y mejor será la aproximación que consigamos:

Pentágono, hexágono y octógono.

Arquímedes (III a. C.) llegó a hacer los cálculos para un polígono con ¡96 lados! y consiguió la siguiente aproximación:

que si pasáis a decimales veréis que proporciona 3'14, es decir, de forma exacta las dos primeras cifras de p.

Terminamos en modo preguntas y respuestas:

¿Por qué se utilizan polígonos regulares? Porque a ellos es "fácil" calcularles el área.

¿Por qué Arquímedes paró con 96 lados? En realidad empezó con 6 lados y fue duplicando cada vez: 12, 24, 48 y 96. Seguramente llegaría a intentarlo con 192 lados pero, o le aburrió el tema, o se murió antes de conseguir acabar las cuentas, que eran cada vez más pesadas.

¿Alguien continuó utilizando el método de Arquímedes? Sí, hasta que se descubrieron otros mejores. Algunos siglos después, hacia el año 250 d. C., el matemático chino Liu Hui aproximó las cinco primeras cifras (3'14159) con un polígono de 3072 lados; ya en el siglo XVII Vieta hizo las cuentas para polígonos con 393216 lados y llegó a las nueve cifras de precisión (3'141592653, más o menos lo que aparece en nuestras calculadoras cuando les pedimos p); y el record lo consiguió Ludolph van Ceulen, un alemán que dedicó gran parte de su vida a calcular:

 3'14159265358979323846264338327950288

¡Con razón pidió que grabasen sobre su tumba esas 35 cifras decimales!

¿Cuáles son los métodos mejores que el de Arquímedes? Próximamente en vuestro blog matemático favorito.

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Pista para la prueba: en la 3ª evaluación estudiaremos el teorema de Pitágoras, que relaciona las longitudes de los tres lados en un triángulo rectángulo (los lados se llaman: catetos, que son los dos que forman el ángulo de 90º, e hipotenusa, que es el lado opuesto a dicho ángulo).

En concreto, el teorema de Pitágoras dice que (es habitual escribirlo de cualquiera de las dos formas siguientes):

por ejemplo:

Pues es el teorema de Pitágoras el que os va a ayudar a obtener la longitud del lado (y con ello el área) del cuadrado inscrito. Este problema lo haremos en clase en la 3ª evaluación: a ver si sois capaces de sacarlo ahora por vuestra cuenta. ¡Suerte!