Apollo 11

Neil Armstrong, el primer hombre en pisar la Luna (¡me encanta esta foto!)

Neil Armstrong – Apollo 11 (julio de 1969).
Edwin “Buzz” Aldrin – Apollo 11 (julio de 1969).
Charles Conrad – Apollo 12 (noviembre de 1969).
Alan L. Bean – Apollo 12 (noviembre de 1969)
Alan Shepard – Apollo 14 (febrero de 1971).
Edgar Mitchell – Apollo 14 (febrero de 1971).
David Scott – Apollo 15 (julio de 1971).
James B. Irwin – Apollo 15 (julio de 1971).
John Young – Apollo 16 (abril de 1972).
Charles Duke – Apollo 16 (abril de 1972).
Harrison Schmitt – Apollo 17 (diciembre de 1972).
Eugen Cernan – Apollo 17 (diciembre de 1972).

Dentro de poco más de un mes se cumplirá el 50 aniversario de uno de los momentos cumbre de la Historia, la llegada del hombre a la Luna. Gracias a que fui sietemesino (por favor, no digáis, ¡y fíjate lo grande que eres ahora!, que he oído esa frase un millón de veces), por veintipocos días puedo decir que ha habido seres humanos ahí arriba estando yo vivo (y os contaré que la cosa estuvo muy chunga para mí por aquel entonces: qué cerca "estuvisteis" de libraros de mí, ¡y vosotros sin saberlo!).

Para un niño (el que fui y la parte cada vez más pequeña que me va quedando) entusiasmado con los viajes espaciales, estos 50 años han sido una agonía. Cuántas noches mirando al cielo fantaseando con que algún día iría ahí. Cuántas revistas leídas compulsivamente una y otra vez (¡si ya me las sabía de memoria!) con planes americanos y soviéticos para ir a Marte. Qué pequeñas satisfacciones los éxitos de algunas sondas. Desde hace unos años me lamo las heridas enganchado a este blog:

Eureka

Estos últimos días os he puesto en clase el vídeo de la pluma y el martillo y me he sentido fatal. No recuerdo esa sensación otros años y el caso es que la cosa fue igual: ¡la inmensa mayoría tenéis el mismo entusiasmo espacial que mis gatos!

Cuando la Unión Soviética lanzó en 1957 el primer satélite artificial, en todo el mundo se produjo una explosión de entusiasmo por la ciencia y gracias a ello muchos niños y jóvenes se hicieron matemáticos, físicos, ingenieros... De hecho en Estados Unidos este fenómeno se conoce como efecto Sputnik -el nombre del satélite-.

A la espera de que la próxima década se confirmen algunas intenciones de vuelta a la Luna (que necesitarán acciones decididas -y mucho dinero- o se quedarán en eso), que despierten e incentiven vuestro entusiasmo científico, dejadme intentarlo proponiéndoos un reto facilito.

Primera foto de la Tierra y la Luna flotando en el espacio. Sonda Voyager 1.

Reto de la Luna: ¿cuántas veces tenemos que doblar un folio de grosor 0'1 milímetro para "llegar" de la Tierra a la Luna?

Entre los que contestéis correctamente (aquí en los comentarios del blog) sortearé 3 entradas de cine para ver:

que se estrena, cómo no, el próximo 16 de julio.

El Olimpo de los números

Lo primero es lo primero:

¡Bien hecho Adrián!

Desde un punto de vista matemático, ¿cuáles son los números más importantes, los dioses del Olimpo? Aquí tenéis juntos a "los cinco magníficos" en la famosa identidad de Euler:

¡Preciosa para un tatuaje!

Adoremos a las divinidades:

0 El cero es el elemento neutro de la suma, es decir, si a cualquier número le sumo un 0, el número no cambia. Por ejemplo: 13 = 13 + 0.

1 El uno es el elemento neutro de la multiplicación, es decir, si un número lo multiplico por 1, el número no cambia. Por ejemplo: 13 = 13 x 1.

p De éste ya hemos hablado bastante, ¿verdad? Os recuerdo la idea original:

Si tenemos una circunferencia (pensemos que es una rueda) de 1 metro de diámetro y la hacemos rodar una vuelta entera, recorremos una distancia de p metros, es decir, 3'14159... metros, 3 veces y un poco el diámetro de la circunferencia.

Hasta aparece en la Biblia:

Diámetro = 10; Longitud = 30 (y pico)

e Coged una calculadora e id haciendo estas cuentas:

Si "no paráis nunca" llegaréis al valor exacto de:

e = 2,718281828459045235360287...

Estas cuentecillas aparecieron por primera vez en un problema de economía en el siglo XVII y desde entonces en muchos otros sitios. No sé si vais a pillar la idea pero Eduardo siempre cuenta las cosas con gracia:

i Ya os hablé de él (Los números imaginarios). Aquí os lo explica mejor nuestro divulgador favorito:

Mapamundi

Si nos piden que pensemos en un mapa de nuestro planeta, a la mayoría nos viene algo así a la cabeza:

Mapamundi de Mercator

Y si a la vista del mismo nos preguntaran, por ejemplo, ¿qué es más grande, Groenlandia o África?, tendríamos que pensarnos la respuesta... aunque en realidad no hay mucho que pensar:

- Superficie de Groenlandia = 2'2 millones de km.

- Superficie de África = 30'4 millones de km.

Sí, África es unas 14 veces mayor que Groenlandia. ¡¿Qué está pasando aquí?!

Naturalmente todo tiene una explicación (¡matemática!) y es la siguiente:

No es posible representar, de forma semejante, la superficie de una esfera (y la Tierra lo es) en un plano. Es decir, podemos hacer "una especie de boceto", pero siempre habrá alguna distorsión.

El mapamundi más habitual (el de arriba) se basa en la proyección cartográfica de Mercator, que tiene la pega de que aumenta el tamaño de las regiones más cercanas a los polos.

Hay muchas otras opciones aunque todas tienen sus pegas. Por ejemplo, los dos siguientes respetan mejor los tamaños de las regiones terrestres (¿cómo veis ahora lo de África y Groenlandia?), pero el primero es un lío para las distancias por mar y en el segundo es muy difícil orientarse:

Os enlazo dos artículos sobre este tema y otras curiosidades:

Todos los mapas que conoces están mal

El mapa que mejor respeta las proporciones también está mal

Construyendo mi ataud

 Corpus hypercubus, de Salvador Dalí

Mido 1'94 y, cuando muera (¡lo que tengo que hacer para captar vuestra atención!), me gustaría que mi ataúd tuviese forma hipercúbica de 1 centímetro de arista. ¿En qué dimensión empieza a ser eso posible?

Primero vamos a responder a tres preguntas (los de 2º ya las sabéis; los de 1º las entenderéis dentro de poco, cuando veamos el Teorema de Pitágoras):


1) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar encima de un segmento de 1 centímetro?

La respuesta es fácil, como mucho, encima de ése, podré pintar otro segmento que mida 1 centímetro.

2) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar en un papelito cuadrado de 1 centímetro de lado?

Claramente el segmento más largo que podemos pintar es la diagonal del cuadrado. Llamamos a Pitágoras:

Es decir, como mucho podemos pintar un segmento de longitud raíz de 2 = 1'4142... centímetros.


3) ¿Cuánto mide la varilla más larga que puedo meter dentro de un cubo de 1 centímetro de arista?

Es muy parecido al caso anterior: lo más largo de un cubo es su diagonal, y podemos calcular su longitud aplicando Pitágoras (notad que las diagonales de las caras, que son cuadrados, miden raíz de 2):

Es decir, la varilla más larga que cabe mide raíz de 3 = 1'732...


Conclusiones:

- en un segmento de 1 cm (dejadme rebautizarlo: "hipercubo de dimensión 1" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" puede medir 1 cm,

- en un cuadrado de 1 cm de lado ("hipercubo de dimensión 2" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 2 = 1'4142... cm,

- en un cubo de 1 cm de arista ("hipercubo de dimensión 3" con arista 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 3 = 1'732... cm.

Efectivamente, esto sigue, y aunque hacer dibujos es (casi) imposible, las cuentas salen igual de fáciles y queda claro que las diagonales van siendo cada vez más y más largas:

- en un hipercubo de dimensión 4 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 4 = 2 cm,

- en un hipercubo de dimensión 5 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 5 = 2'236... cm,

- en general, en un hipercubo de dimensión n con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de n cm.

Responded ahora: ¿de qué dimensión tenéis que construir un "hiperataúd" de 1 cm de arista para que quepa un profesor de matemáticas de 194 cm?


Nota final: he dicho antes que los dibujos son casi imposibles. De igual manera que en las fotos o en los cuadros representamos en 2 dimensiones (utilizando la perspectiva) la realidad de 3 dimensiones (fijaos también en cómo dibujamos un cubo), en 3 dimensiones pueden hacerse representaciones del hipercubo de 4 dimensiones. Son ejemplos el cuadro de Dalí del principio o algunos monumentos (haced clic en las imágenes para saber algo más de ellos):

Monumento de la Constitución, en Madrid

Arco de la Defensa, en París

"Dibujo" de un hipercubo 4D

Pi (Tercera parte)

Recordad de la anterior entrada del reto:

Suma de Leibniz

Suma de Nilakantha

En la siguiente tabla podéis ver cómo van evolucionando las sumas anteriores según vamos añadiendo más números (en amarillo las cinco que os mandé como reto). Yo (mi ordenador más bien) he seguido sumando hasta los 30000 números. Por cierto, la segunda se llama suma de Nilakantha).

 El valor real es p = 3’1415926535897932384...

Vemos que hay una gran diferencia entre las dos sumas. Cierto que las dos se van acercando más al valor de p cuantos más números sumamos, pero parece claro que una es mucho más rápida que la otra. Por ejemplo, al sumar 30000 números con la suma de Leibniz sabemos que p está entre 3'14156 y 3'14163, es decir, tenemos sólo 3 cifras exactas de p; con la de Nilakantha llegamos hasta 3’141592653589, 12 cifras exactas de p.

Y ahí precisamente están las dos claves que marcaron (y siguen marcando) la carrera por conseguir cifras decimales de p:

1) Hay que utilizar sumas que se acerquen lo más rápido posible al verdadero valor de  p. En la actualidad se emplea una en la que cada vez que sumamos un número conseguimos 14 decimales exactos de p. Aquí nos lo cuentan:

El algoritmo de Chudnovsky

2) Mi ordenador habrá tardado una fracción de segundo en hacer las cuentas. Para intentar batir el record de cifras de p se utilizan potentes ordenadores.

Vamos a ver algunos momentos importantes en la "Carrera de  p":

- La mente más brillante en la historia de la Humanidad, Isaac Newton, dijo: "La naturaleza se reduce a un número: p. Quien descubra el misterio de p comprenderá el pensamiento de Dios", y tal vez por eso pasó unas cuantas tardes haciendo cuentas y calculó 15 decimales exactos... para lamentarse a continuación por haber perdido el tiempo haciendo cuentecitas inútiles.

- El aficionado a las matemáticas William Shanks dedicó casi 20 años de su vida a hacer cuentas para calcular 707 cifras decimales exactas de p... o eso creía: 70 años después, en 1944, usando una calculadora mecánica, se comprobó que "sólo" eran correctas hasta la 527.

- Una figura especial en el cálculo de las cifras de p es el portento indio Srinivasa Ramanujan, que encontró sumas de números que se acercaban muy rápido  al valor de p (el algoritmo de Chudnovsky se basa en un descubrimiento suyo). Os dejo una de sus genialidades (a ver si sois capaces de hacer bien la cuenta -con calculadora, claro-):

- Con la llegada de los ordenadores la carrera quedó en manos de los informáticos. Precisamente la semana pasada se batió el récord llegando a más de 31 billones de cifras. Para ello la informática japonesa Emma Haruka Iwao ejecutó el programa y-cruncher en 25 ordenadores durante 121 días. Escritas seguidas en el tamaño que estáis leyendo darían más de 150 vueltas a la Tierra.

Enlace a la lista de récords de cifras de p

Dos cositas para terminar:

- Sí, es una gran pérdida de tiempo y de electricidad tener 25 potentes máquinas dedicadas 121 días a hacer algo que no sirve para nada. Afortunadamente los ordenadores se emplean casi siempre para cosas mucho más importantes. Os enlazo un vídeo muy interesante:

El superordenador Mare Nostrum

- p también inspira a los "poetas":

Soy y seré a todos definible

mi nombre tengo que daros

cociente diametral siempre inmedible

soy de los redondos aros.

¿Feo? Bueno, eso es porque la gracia está en que al contar las letras de cada palabra obtenemos las 20 primeras cifras decimales de p. 

Reto III de p: Tenéis que escribir algo con sentido de entre 20 y 30 palabras (a ver si os sale poético, sabio y/o gracioso). El plazo termina el próximo jueves 4 de marzo.

Aunque son de mi época supongo que los conocéis:

Por si os sirve de ayuda aquí os enlazo:

Personajes de Barrio Sésamo

¡Superad esto!

Uffffff, yo lo odiaba, ¡qué aburrido era! (Pero acabo de ver este vídeo y me he desternillado de risa de lo malo que es):

Por un recreo inclusivo

And the Oscar goes to... (¡Bravo chicos!).

Y aquí os enlazo esta noticia de hoy para que la leáis (clic sobre la foto):

¿N=NP? (Final)

Recapitulamos:

Los problemas P son aquellos para los que CONOCEMOS un algoritmo que permite resolverlo rápidamente.

Los problemas NP son aquellos para los que CONOCEMOS un algoritmo que permite resolverlo... pero en realidad casi nos da igual porque tardaríamos muchísimo tiempo en hacerlo. Es como si en la práctica fuesen imposibles de resolver.

Y la palabra clave es ese CONOCEMOS: podemos preguntarnos, para los problemas NP, ¿no existirá un algoritmo más rápido y lo que pasa es que todavía no lo hemos descubierto? Dicho de otra forma, ¿no será que los problemas NP son en realidad problemas P, pero todavía no lo sabemos? Más corto: ¿P=NP?

(Por ejemplo, nos preguntamos: ¿existe algún algoritmo -mejor que los que utilizamos- que nos permitiría saber rápidamente si un número es o no primo, y lo que pasa es que todavía no lo hemos descubierto?).

Vamos terminando:

¿Cuál se cree que es la respuesta? La inmensa mayoría de los matemáticos piensa que no, que para los problemas NP no existen algoritmos mejores a los que ya conocemos, que P no es igual a NP. Pero... René Descartes, uno de los mejores matemáticos de la historia, dijo que la mente humana nunca conseguiría resolver algunos problemas... que ahora sabe hacer cualquier buen alumno de bachillerato de ciencias.

¿Y esto sirve para algo, tiene alguna utilidad? Los problemas NP son la base de la criptografía (que es la codificación de la información para que no pueda verla nadie más que quien la envía y quien la recibe). Teniendo en cuenta que nuestras comunicaciones y nuestra actividad financiera están completamente informatizadas, que sean seguras depende de que los problemas NP no sean P.

Pegadle un vistazo a este vídeo de Eduardo (fijaos en lo que dice a los 4:27 minutos):

Cuando Eduardo emplea la palabra "imposible" debería decir, "imposible siempre y cuando NP no sea P". Acabo de mirarlo y un bitcoin (la moneda de la que habla en el vídeo) vale ahora mismo unos 3000 euros (hace poco más de un año llegó a los 16000). En el mismo momento en el que alguien descubriese algoritmos rápidos para los problemas NP (es decir, que P=NP) el valor de un bitcoin sería exactamente 0 euros.

¿Y si los problemas NP no son P, como parece que es, todo está tranquilo? Pues esto todavía se complica un poco más porque hay otra amenaza en el horizonte: los ordenadores cuánticos.

¿Ordenadores cua.. qué? La física cuántica (se llama así a la parte de la física que se encarga de estudiar el mundo subatómico) es rara, rara, rara...

Bueno, pues parece que vamos a poder aprovechar estas "cosas raras" para construir ordenadores "infinitamente" más rápidos que los que tenemos en la actualidad. Por seguir el ejemplo de la minería, un ordenador actual es un pico y una pala, y un ordenador cuántico va a ser una perforadora capaz de "llegar al centro de la tierra". Copio y pego el párrafo de una noticia que leí hace poco:

En 2015 la Agencia Nacional de Seguridad (NSA) de EE UU anunció que los estándares actuales de criptografía de clave pública no son seguros a largo plazo y pidió que se iniciara cuanto antes la búsqueda de algoritmos de cifrado de clave pública seguros contra ordenadores cuánticos, también llamados postcuánticos.

Enlace a la noticia completa

Noticia de hace 10 días:

¡Ya están aquí! (aunque todavía son unos bebés)

¿Sabéis la moraleja de todo esto?

LAS MATEMÁTICAS DOMINAN EL MUNDO

Por favor, no volváis a preguntar nunca más, ¿para qué sirven las matemáticas? En todo caso, preguntad si hay algo para lo que no sirvan.

Os dejo un par de enlaces:

Los problemas del milenio

¿P=NP?

¿P=NP? (1ª parte)

¿P=NP? es uno de los problemas más importantes de las matemáticas en la actualidad. Tiene, además, "peligrosas" implicaciones en el mundo en el que vivimos. Hace tiempo os propuse que intentaseis hacer a mano, en menos de 5 minutos, los siguientes cuatro problemas:

Problema 1: divide 23 entre 7.

Problema 2: comprueba si 23 es un número primo.

Problema 3: divide 2305843009213693951 entre 7.

Problema 4: comprueba si 2305843009213693951 es un número primo.

Poyejali! (¡Vamos allá!, en ruso, pronunciado por Yuri Gagarin al despegar rumbo al espacio).

En los problemas 1 y 3 nos piden dividir dos números entre 7. Ya hace muchos años que os enseñaron el algoritmo de la división, es decir, el procedimiento que hay que seguir cuando uno quiere dividir dos números. Relojes a cero y ¡adelante!

En los problemas 2 y 4 nos piden que comprobemos si dos números son primos. Si recordáis, en la 1ª evaluación vimos el algoritmo que nos permitía hacer dicha tarea: comprobar si el número que nos dan es divisible (o no) por todos los números primos hasta su raíz entera. A ver cómo se me da (no utilizo criterios de divisibilidad):

Y ¿es 2305843009213693951 primo? Pues la verdad es que, a mano, Nacho, que parece que calcula "algo mejor" que yo, necesitaría (me invento la cifra y seguramente me estaré quedando corto) décadas para hacer todas las cuentas.

Nacho, campeón del mundo de cálculo

Conclusiones:

• Sabemos resolver los dos problemas (dividir un número por otro y comprobar si un número es o no primo) ya que conocemos los métodos (algoritmos) para hacerlo. Sólo es cuestión de tiempo.
• Cuando aumenta el tamaño del número uno de los problemas (dividir) sigue estando muy a tiro pero el otro (comprobar si un número es primo) enseguida se nos escapa de las manos a poco grande que sea el número.

Ya podemos entender lo que es P y lo que es NP.

En matemáticas los problemas P son aquellos para los que conocemos un algoritmo que se puede hacer en un tiempo razonable incluso para números grandes, mientras que los problemas NP son aquellos para los que conocemos un algoritmo, pero el tiempo que nos costaría aplicarlo es exagerado en cuanto el número aumenta un poco.

Notas finales:

P significa tiempo polinomial y NP tiempo no polinomial (aunque podría, -¡no es una amenaza!- no os voy a explicar ahora de dónde viene el nombre; cuando en 4º de ESO os presenten las funciones exponenciales le preguntáis a vuestro profesor por esto).

Os podéis imaginar que hoy en día los algoritmos no se hacen a mano sino con máquinas. Evidentemente los ordenadores son rapidísimos pero la idea no cambia: los problemas P son aquellos que un ordenador hace “rápido” y los NP aquellos para los cuales tardaría años (o décadas o siglos o...) en resolver, por mucho que mejoren los ordenadores.

Lo que acabo de decir no es del todo cierto. Os lo cuento... ¡en la última entrega! (Hay un término inglés para esto de cortar en un momento emocionante: cliffhanger).

Continuará...

¡Feliz Navidad!

Naturalmente, voy a aprovechar para contaros una historia.

Los seres humanos se fijaron en tres fenómenos cíclicos (que se repiten) a la hora de intentar medir el tiempo: la salida y puesta del Sol (día), las fases de la luna, cuyo ciclo dura unos 29 días y medio (que parece una buena definición de mes), y la posición de la Tierra respecto al Sol (unos 365 días, cuyo ciclo es un inmejorable candidato para ser un año). Pero había un problema: los meses lunares y el año solar no cuadran bien. O nos quedamos cortos o nos pasamos:

• 29'5 x 12 meses = 354 días

• 29'5 x 13 meses = 383'5 días

Hubo muchos intentos de ajuste ya que era un asunto muy importante: ¿os imagináis que cada año los meses se fuesen moviendo y que, si en 2019 enero fuera invierno, dentro de unos años cayese en pleno verano? Sería un lío (e imaginaros para los agricultores).

¿Por qué la Semana Santa es un lío?

La solución fue olvidarse de la luna (por eso los meses no tienen todos el mismo número de días) e intentar ajustarse al Sol. Por entonces se sabía que a la Tierra le cuesta dar una vuelta al Sol unos 365'25 días. La solución parecía fácil: fue el emperador Julio César el que implantó el año de 365 días con uno de 366 cada cuatro. Es lo que se conoce como Calendario Juliano.

Pero lo de 365'25 era sólo una aproximación: en realidad a la Tierra le cuesta dar una vuelta al Sol unos 365'242189 días y claro, el error se fue acumulando, de forma que alguien se puso a hacer cálculos y se dieron cuenta de que cada 1000 años se producía un desfase de casi 8 días. Efectivamente:

• Cada año se acumulaba un desfase de 365'25 - 365'242189 = 0'007811 días.

• 0'007811 días x 1000 años = 7'811 días en total.

Para corregir ese error y para evitar que se produjera en el futuro, el papa Gregorio XIII instauró el Calendario Gregoriano que usamos en la actualidad: la regla es que son bisiestos los años cuyas dos últimas cifras son divisibles por 4, exceptuando los múltiplos de 100 (1700, 1800, 1900..., que no serán bisiestos), de los que se exceptúan a su vez aquellos que también sean divisibles por 400 (1600, 2000, 2400..., que sí serán bisiestos).

¿Problema resuelto? No, porque sigue habiendo un desajuste y, para corregirlo, cada 3000 años aproximadamente hay que hacer "normal", de 365 días, a un año al que le toque ser bisiesto.

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¿Sabéis por qué os he contado toda esta historia? Para poder haceros una pregunta: ¿quién nació en el día de Navidad de 1642 según el calendario Juliano que era el que utilizaban en Inglaterra en aquella época? Sí, un hombre que es Dios, el Dios de la Ciencia:

Isaac Newton

¡FELIZ NAVIDAD Y PRÓSPERO 2019!

Y os será más próspero cuantos más problemas, unos, 
y polinomios, otros, me estéis resolviendo.

Mi primer día como profesor

Una explicación previa.

Están un matemático, un físico y un ingeniero a los que se les pide que calculen el volumen de una canica de un centímetro de radio.

El matemático, el crack, el Dios absoluto, no es que sepa calcularlo, es que es capaz de hacer una demostración que lleva a la fórmula para calcular el volumen de cualquier esfera de radio R (esta cuenta se hace en la universidad, y alguna cosita parecida, pero más sencilla, en bachillerato; ¿a que los símbolos son bonitos?):

El físico propondría hacerlo con un experimento. Echamos agua en una probeta en la que posteriormente sumergimos la canica: entonces el volumen de la canica es exactamente lo que ha subido el nivel del agua de la probeta:

¿Qué haría el ingeniero? "Aprovecharse" del trabajo del matemático y limitarse a hacer la cuenta con una calculadora (¿sabéis hacerla vosotros?). Y diría que el volumen de la canica es:

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La primera vez en mi vida que me disponía a dar una clase (los alumnos eran futuros ingenieros) se me ocurrió empezar "haciéndome el gracioso", contando un chiste que a mí me había hecho reírme a carcajadas. Aunque en el chiste el matemático y el físico también son ridiculizados, la vacilada más fuerte es para el ingeniero. ¿Cuál es la idea? Es habitual burlarse de los ingenieros porque aplican las matemáticas haciendo aproximaciones a lo bestia, o sin preocuparse por comprobar que se cumplen las condiciones que permiten aplicar una determinada fórmula (naturalmente es una exageración... aunque hay algo de verdad).

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Entré en clase todo serio (ellos también lo estaban porque para la mayoría era su primer instante en la universidad) y sin dar siquiera los buenos días dibujé en la pizarra algo parecido a esto:

Creo que me ha salido bastante mejor que entonces

Me di la vuelta y conté el chiste (añado ahora algún comentario explicativo entre paréntesis):

Están un matemático, un físico y un ingeniero a los que se les pide que calculen el volumen de una vaca.

El matemático dice: bah, trivial, basta con hacer una integral. (Lo que teóricamente es cierto, y es fácil de hacer, como hemos hecho arriba, para una esfera, pero es inútil en el mundo real para calcular el volumen de una vaca).

El físico dice: bah, fácil, metemos la vaca en una probeta con agua y lo que sube el nivel es el volumen de la vaca. (Más que probeta tendría que ser en una piscina. Ayyy, los físicos y sus experimentos, menuda cornada les iba a dar la vaca si intentaran meterla en una piscina).

Y va el ingeniero y dice: está tirado. Suponemos que la vaca es esférica y aplicamos la fórmula: el volumen es cuatro tercios de pi por el radio al cubo.

¿Vaca esférica? ¿Radio de una vaca?

De hecho, este chiste se conoce como "el de la vaca esférica".

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Los alumnos me miraron todos muy serios... y ese fue el final de mi carrera como profesor-humorista. Creo que he tenido algunas pesadillas relacionadas con dicho momento. ¡Nunca más!

El mundillo matemático (III): la gloria

La Medalla Fields

¿Con qué sueña un matemático (aparte de con daros clase a vosotros)? ¿Cómo se gana la inmortalidad? Esencialmente siendo el primero "en cazar una gran presa", en resolver alguno de los grandes problemas de las matemáticas.

¿Cuáles son esos problemas? En el Congreso de París del año 1900 David Hilbert, el matemático más destacado de la época, propuso su famosa lista con los 23 problemas que se consideraron los más importantes del siglo XX.

Lista de Hilbert

En el año 2000, la Unión Matemática Internacional, que aglutina las Academias de Matemáticas de aquellos países que tienen Academia de Matemáticas, hizo una "repetición de la jugada" creando la

Lista de Smale

y el  Clay Mathematics Institute (una organización fundada por un millonario aficionado a las matemáticas) ofrece un millón de dólares a quien resuelva alguno de los

Siete problemas del milenio

¿De qué van esos problemas? Voy a intentar contaros algo de uno que aparece en las dos listas, el ¿P=NP?, y para eso necesito que antes resolváis los siguientes cuatro problemas a mano.

Importante: para cada uno de ellos tenéis como mucho 5 minutos.

Problema 1: divide 23 entre 7.

Problema 2: comprueba si 23 es un número primo.

Problema 3: divide 2305843009213693951 entre 7.

Problema 4: comprueba si 2305843009213693951 es un número primo.

(Continuará).

El mundillo matemático (II): los grandes

¿Quiénes son los más grandes matemáticos de la Historia? Voy a reducirlo mucho (son los que están pero no están muchos de los que son):

Euclides (s. III a. de C.): autor del libro "Elementos", una recopilación que fue "la biblia matemática" durante muchos siglos.

Newton (s. XVII): el Dios absoluto de la Ciencia. Su "Philosophiæ naturalis principia mathematica" es la obra científica más importante de la Historia: establece los cimientos de la Física y revoluciona las Matemáticas con el descubrimiento del Cálculo Infinitesimal (otro gran matemático, Leibniz, lo descubrió de forma independiente en la misma época y la polémica fue terrorífica).

Euler (s. XVIII): quedarse ciego no le impidió ser el matemático más prolífico de la historia. Trabajó en multitud de campos siendo pionero en muchos de ellos.

Gauss (s. XIX): conocido como el "Príncipe de las Matemáticas". ¿Os acordáis de él? ¿Cuánto vale 

1+2+3+4+5+...+997+998+999+1000?

¿Y un "poco" más modernos? ¿En los últimos tiempos? Vamos a dejarlo también en cuatro:

Andrew Wiles: demostró en 1993 el Último Teorema de Fermat, que había resistido más de tres siglos a los mejores matemáticos del mundo.

Terence Tao: un ex-niño prodigio ya en la cuarentena. Especialista en Teoría de números, resuelve como si nada problemas inaccesibles para el resto de los mortales. Si hacéis clic en la imagen podéis visitar su blog.

Grigori Perelman: muy famoso, por haber demostrado la Conjetura de Poincaré... y por ser un "bicho raro" que vive apartado y renunció a varios premios (y a sus correspondientes millones de dólares).

Maryam Mirzajani: espero que no necesite presentación en este blog. Primera mujer en ganar la Medalla Fields.

¿Y alguno de nuestra tierra? Desgraciadamente España no ha destacado en la historia de la Humanidad por el talento de sus científicos. Entre las honrosas excepciones se encuentra un paisano nuestro, el logroñés:

Julio Rey Pastor

El mundillo matemático (I)

Ya lo hemos hablado en clase: si en la antigüedad toda la ciencia (matemáticas, física, biología...) entraba dentro de la consideración de Filosofía (por ejemplo, todos los grandes matemáticos griegos eran filósofos), en la actualidad no existen las matemáticas sino: el álgebra, el análisis, la geometría, la topología, la teoría de números,... y eso es seguir siendo muy general: la mayoría de los matemáticos son especialistas en campos muy determinados, y sólo los muy buenos tienen capacidad para trabajar en varios a la vez.

Clasificación de disciplinas matemáticas de la Unesco

¿Dónde y cómo trabajan los matemáticos? Desarrollan sus investigaciones en universidades, centros tecnológicos, agencias gubernamentales, empresas privadas... casi siempre de forma colaborativa, en equipo. La inmensa mayoría son personas muy "normalitas", que trabajan las horas que les toca y luego, en su vida normal, son indistinguibles de sus vecinos. ¿Por qué digo esto? Porque la idea que suele dar la literatura o el cine de los matemáticos, con el típico genio rarito, excéntrico, insociable e inadaptado, es la excepción (haberlos haylos), no la regla.

Exactamente, ¿cómo desarrollan su trabajo? Intentando resolver problemas, unos más importantes que otros, algunos con aplicaciones inmediatas (en física, química, ingeniería, economía...) y otros más abstractos. Cuando consiguen un resultado que creen importante suele ocurrir lo siguiente:
- lo envían a una revista especializada,
- el editor de la revista, si cree que tiene interés, se lo pasa a los llamados referees (árbitros), que son matemáticos especialistas en el campo sobre el que versa el trabajo,
- si los referees dan el visto bueno el editor publica el artículo. Si no, el artículo es devuelto sin publicar con indicaciones sobre sus errores o su poco valor. Lo más cruel que te pueden decir es:

Su artículo tiene ideas nuevas e interesantes, lo malo es que 

las nuevas no son interesantes y las interesantes no son nuevas.

- además, en congresos especializados, los matemáticos se reúnen y se ponen al día de los avances en sus investigaciones.

¿Premios, dinero? Eduardo os lo va a contar mejor:

El reto final

Aquí viene el último reto para el Concurso de la calculadora. Bueno, el penúltimo, que al final de esta entrada hay un "extra". El plazo para contestar termina el próximo 16 de diciembre.

Os pongo en antecedentes:

La Teoría de juegos es una rama de las matemáticas que bajo su nombre recreativo tiene gran importancia en el mundo real, en economía, biología, psicología, informática, etc. Por ejemplo, el famoso matemático John Nash (el de la película Una mente maravillosa) ganó el Premio Nobel de economía por sus investigaciones en Teoría de juegos.

Uno de los problemas básicos de la Teoría de juegos es determinar si para un juego hay o no una estrategia ganadora, es decir, una manera de que uno de los jugadores gane siempre. Un par de ejemplos famosos son (no fue fácil demostrarlo):

- en el juego del conecta cuatro, si el jugador que empieza hace las mejores jugadas, gana seguro.

- en el juego de las damas, si los dos jugadores hacen las mejores jugadas, empatan seguro.

Reto del equipo de fútbol. (20 puntos)

Imagina que estás con nueve amigos más y vais a jugar un partido de fútbol cinco contra cinco. Otro amigo y tú sois los capitanes y os disponéis a hacer los equipos eligiendo, cada uno de vosotros dos, a cuatro jugadores más para vuestros respectivos equipos. Supongamos que los ponemos en fila como en la imagen:

Las normas para elegir a los jugadores son las siguientes:

- vais a elegir por turno, seleccionando a un jugador cada vez,

- tú eliges primero,

- cada jugador se apartará de la fila al ser elegido,

- en cada turno, el que elige (tú o el otro capitán), sólo puede seleccionar a uno de los dos jugadores que estén en los extremos de la fila. Por ejemplo, la primera vez tú has de decidirte obligatoriamente entre dos jugadores, el 8 y el 1. Supongamos que eliges al 8 (que se apartará de la fila); entonces al otro capitán le tocará elegir entre el jugador 7 y el jugador 1. Y así sucesivamente hasta el final.

Además, y aquí viene lo importante, los dos capitanes conocéis perfectamente cómo juegan al fútbol vuestros ocho amigos: vamos a suponer que llevan escritos en la camiseta los goles que han marcado en los partidos de otros días y que eso mide lo buenos que son:

Naturalmente, tú quieres elegir un equipo que sea mejor (que marque más goles), que el equipo rival que va a elegir el otro capitán.

Vamos a hacer una simulación. Supongamos que las elecciones son:

- tú eliges al jugador 1,
- el otro capitán elige al jugador 2,
- tú eliges al jugador 8,
- el otro capitán elige al jugador 7,
- tú eliges al jugador 6,
- el otro capitán elige al jugador 5,
- tú eliges al jugador 4,
- el otro capitán elige al jugador 3.

Como resultado final los jugadores de tu equipo (12+9+13+14=48 goles en total) son peores que los del rival (18+11+12+9=50 goles).

El reto es: encontrar (la hay) la estrategia que te permite seleccionar seguro a un equipo mejor que el rival.


Aclaraciones:

- Podéis jugar e inspiraros con el ejemplo de la imagen de arriba, pero no estoy pidiendo que deis una solución para esos ocho en concreto, sino una "receta", una regla para elegir siempre, sean los que sean los ocho jugadores, a un equipo mejor que el rival. Es decir, la regla que deis debería servir también para:

y para cualesquiera otros ocho jugadores.

- La solución es una regla, una simple frase que en versión corta se puede escribir en menos de 150 caracteres.

- En realidad hay casos en el que no se puede elegir un equipo mejor que el rival. Por ejemplo, si los ocho jugadores marcasen todos el mismo número de goles,

en ese caso los dos equipos resultantes serían iguales (20 goles cada uno). Vamos a suponer entonces que en realidad el problema es conseguir un equipo mejor o, en algunos casos en que eso no puede ser, que por lo menos sea igual que el rival.

A ver qué tal se os da. Como casi siempre en matemáticas, la solución es muy fácil de entender cuando a uno se la cuentan... lo difícil es encontrarla.


Reto extra. (1 punto)

La siguiente foto fue hecha en el antiguo estadio de "Las Gaunas" hace muuuuuucho tiempo (sus protagonistas tenían casi todos 13 años).

El reto consiste en que tenéis que acertar quién es el más guapo, listo, simpático, gracioso, ocurrente, bueno, noble, valiente... de esa foto, y claro, por eso era nada más y nada menos que el capitán.