Apollo 11

Neil Armstrong, el primer hombre en pisar la Luna (¡me encanta esta foto!)

Neil Armstrong – Apollo 11 (julio de 1969).
Edwin “Buzz” Aldrin – Apollo 11 (julio de 1969).
Charles Conrad – Apollo 12 (noviembre de 1969).
Alan L. Bean – Apollo 12 (noviembre de 1969)
Alan Shepard – Apollo 14 (febrero de 1971).
Edgar Mitchell – Apollo 14 (febrero de 1971).
David Scott – Apollo 15 (julio de 1971).
James B. Irwin – Apollo 15 (julio de 1971).
John Young – Apollo 16 (abril de 1972).
Charles Duke – Apollo 16 (abril de 1972).
Harrison Schmitt – Apollo 17 (diciembre de 1972).
Eugen Cernan – Apollo 17 (diciembre de 1972).

Dentro de poco más de un mes se cumplirá el 50 aniversario de uno de los momentos cumbre de la Historia, la llegada del hombre a la Luna. Gracias a que fui sietemesino (por favor, no digáis, ¡y fíjate lo grande que eres ahora!, que he oído esa frase un millón de veces), por veintipocos días puedo decir que ha habido seres humanos ahí arriba estando yo vivo (y os contaré que la cosa estuvo muy chunga para mí por aquel entonces: qué cerca "estuvisteis" de libraros de mí, ¡y vosotros sin saberlo!).

Para un niño (el que fui y la parte cada vez más pequeña que me va quedando) entusiasmado con los viajes espaciales, estos 50 años han sido una agonía. Cuántas noches mirando al cielo fantaseando con que algún día iría ahí. Cuántas revistas leídas compulsivamente una y otra vez (¡si ya me las sabía de memoria!) con planes americanos y soviéticos para ir a Marte. Qué pequeñas satisfacciones los éxitos de algunas sondas. Desde hace unos años me lamo las heridas enganchado a este blog:

Eureka

Estos últimos días os he puesto en clase el vídeo de la pluma y el martillo y me he sentido fatal. No recuerdo esa sensación otros años y el caso es que la cosa fue igual: ¡la inmensa mayoría tenéis el mismo entusiasmo espacial que mis gatos!

Cuando la Unión Soviética lanzó en 1957 el primer satélite artificial, en todo el mundo se produjo una explosión de entusiasmo por la ciencia y gracias a ello muchos niños y jóvenes se hicieron matemáticos, físicos, ingenieros... De hecho en Estados Unidos este fenómeno se conoce como efecto Sputnik -el nombre del satélite-.

A la espera de que la próxima década se confirmen algunas intenciones de vuelta a la Luna (que necesitarán acciones decididas -y mucho dinero- o se quedarán en eso), que despierten e incentiven vuestro entusiasmo científico, dejadme intentarlo proponiéndoos un reto facilito.

Primera foto de la Tierra y la Luna flotando en el espacio. Sonda Voyager 1.

Reto de la Luna: ¿cuántas veces tenemos que doblar un folio de grosor 0'1 milímetro para "llegar" de la Tierra a la Luna?

Entre los que contestéis correctamente (aquí en los comentarios del blog) sortearé 3 entradas de cine para ver:

que se estrena, cómo no, el próximo 16 de julio.

Concurso de acertijos matemáticos

Para celebrar que el 12 de mayo es el Día Escolar de las Matemáticas dos alumnos de la UR han convocado un Concurso de Acertijos Matemáticos:

Enlace a la convocatoria

Resumiendo, tenéis que:

- resolver estos seis acertijos:

Enlace a los acertijos

- y enviar las soluciones (de los que consigáis hacer) antes del domingo 26 de mayo de 2019 a las 14:00 horas a la dirección:

concurso.acertijos.matematicos@gmail.com

indicando:

Asunto del correo: Concurso de acertijos matemáticos.
Nombre, apellidos y nº de DNI.
Documento legible en el que se encuentren las soluciones detalladas de los acertijos.

El ganador se llevará 50 euros en metálico.

¡¡ANIMAOS!!

¡Gracias!

¿Cómo voy a hacer un sorteo? Para un profesor lo más bonito que existe es el interés y el esfuerzo de sus alumnos. Si además ha habido reencuentros que han significado un emocionante homenaje a los "viejos" y buenos tiempos, sólo os puedo decir:

¡ELEGID LA QUE MÁS OS GUSTE!

¡Que aparezca Pi, claro! Me decís todas las características, yo la pido, y os la entrego. Enlazo un par de posibilidades, pero podéis buscar por vuestra cuenta (¡por favor, escoged la que más os guste, que ese sea el único criterio! ¡NO miréis el precio!).

La Tostadora

Amazon

Me decís en persona, Instagram o mensaje en esta entrada.

De corazón:

¡GRACIAS!

Construyendo mi ataud

 Corpus hypercubus, de Salvador Dalí

Mido 1'94 y, cuando muera (¡lo que tengo que hacer para captar vuestra atención!), me gustaría que mi ataúd tuviese forma hipercúbica de 1 centímetro de arista. ¿En qué dimensión empieza a ser eso posible?

Primero vamos a responder a tres preguntas (los de 2º ya las sabéis; los de 1º las entenderéis dentro de poco, cuando veamos el Teorema de Pitágoras):


1) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar encima de un segmento de 1 centímetro?

La respuesta es fácil, como mucho, encima de ése, podré pintar otro segmento que mida 1 centímetro.

2) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar en un papelito cuadrado de 1 centímetro de lado?

Claramente el segmento más largo que podemos pintar es la diagonal del cuadrado. Llamamos a Pitágoras:

Es decir, como mucho podemos pintar un segmento de longitud raíz de 2 = 1'4142... centímetros.


3) ¿Cuánto mide la varilla más larga que puedo meter dentro de un cubo de 1 centímetro de arista?

Es muy parecido al caso anterior: lo más largo de un cubo es su diagonal, y podemos calcular su longitud aplicando Pitágoras (notad que las diagonales de las caras, que son cuadrados, miden raíz de 2):

Es decir, la varilla más larga que cabe mide raíz de 3 = 1'732...


Conclusiones:

- en un segmento de 1 cm (dejadme rebautizarlo: "hipercubo de dimensión 1" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" puede medir 1 cm,

- en un cuadrado de 1 cm de lado ("hipercubo de dimensión 2" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 2 = 1'4142... cm,

- en un cubo de 1 cm de arista ("hipercubo de dimensión 3" con arista 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 3 = 1'732... cm.

Efectivamente, esto sigue, y aunque hacer dibujos es (casi) imposible, las cuentas salen igual de fáciles y queda claro que las diagonales van siendo cada vez más y más largas:

- en un hipercubo de dimensión 4 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 4 = 2 cm,

- en un hipercubo de dimensión 5 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 5 = 2'236... cm,

- en general, en un hipercubo de dimensión n con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de n cm.

Responded ahora: ¿de qué dimensión tenéis que construir un "hiperataúd" de 1 cm de arista para que quepa un profesor de matemáticas de 194 cm?


Nota final: he dicho antes que los dibujos son casi imposibles. De igual manera que en las fotos o en los cuadros representamos en 2 dimensiones (utilizando la perspectiva) la realidad de 3 dimensiones (fijaos también en cómo dibujamos un cubo), en 3 dimensiones pueden hacerse representaciones del hipercubo de 4 dimensiones. Son ejemplos el cuadro de Dalí del principio o algunos monumentos (haced clic en las imágenes para saber algo más de ellos):

Monumento de la Constitución, en Madrid

Arco de la Defensa, en París

"Dibujo" de un hipercubo 4D

Pi (final): la cuadratura del círculo

Los matemáticos de la antigua Grecia se inventaron el “juego de la regla y el compás” en el que, siguiendo unas determinadas normas, había que construir figuras geométricas, dividir segmentos o ángulos en varias partes iguales, etc, utilizando una regla y un compás. No vamos a entrar en detalles pero una de las normas es que la regla no tiene marcas, no sirve para medir, sólo se puede utilizar para pintar segmentos o rectas uniendo dos puntos.

Una de las modalidades del “juego de la regla y el compás” era la de construir números. La idea es sencilla: partimos de un papel en el que tenemos dibujado un segmento de longitud 1 (da igual la unidad; por comodidad ponemos nombre a los extremos, A y B):

y, utilizando un compás y una regla (insisto, sin números, no podemos medir con ella), tenemos que intentar construir segmentos de la longitud que nos digan. Vamos a ver tres ejemplos:

1) Construir un segmento de longitud 2. El 2 sale muy fácil: prolongamos por la derecha el segmento original con la regla, pinchamos con el compás en el punto B, lo abrimos hasta el punto A y lo giramos y marcamos el punto C. Desde A hasta C el segmento resultante mide 2.

Siguiendo la misma idea sería inmediato construir segmentos de longitudes 3, 4, 5, 6...

2) Construir un segmento de longitud 0'5. ¡Seguro que lo habéis hecho alguna vez! Simplemente se trata de dibujar la mediatriz del segmento que nos dan:

3) Construir un segmento de longitud raíz de 2. Lo tenemos a tiro aprovechando los ejemplos anteriores:

y ya lo tenemos, si recordamos el Teorema de Pitágoras:

Volvamos al dibujo anterior:

¿Cuánto mide el segmento DC?

Los griegos jugaron bastante a este juego y lograron construir un montón de números... hasta que lo intentaron con nuestro querido p.

La cuestión es: partiendo de un segmento de longitud 1, ¿podemos construir con regla y compás un segmento que tenga longitud  p?

En realidad este problema se puede plantear de otra manera más glamurosa que es la que le da nombre: dado un círculo de radio 1, ¿podemos construir con regla y compás un cuadrado que tenga su misma área?

¿Podemos conseguir la cuadratura del círculo?

En 1882, más de 2000 años después de que hubiera sido planteado, tras haber resistido a los mejores matemáticos del mundo durante dos milenios, el problema fue derrotado: Carl Louis Ferdinand von Lindemann (Lindemann para los amigos) se ganó la inmortalidad demostrando que NO, que LA CUADRATURA DEL CÍRCULO ES IMPOSIBLE (y por eso, igual ya lo habéis oído alguna vez, es por lo que se emplea el dicho, "eso es la cuadratura del círculo", para referirse a algo que es imposible de hacer).

Por cierto, id sacando los pañuelos de papel, porque no me cabe ninguna duda de que con lo que ahora mismo os voy a decir vuestros ojos se van a inundar de lágrimas de emoción sincera: ¿sabéis cómo consiguió resolver Lindemann el problema de la cuadratura del círculo? Con ecuaciones. Y ahora viene lo mejor, ¿sabéis qué tipo de ecuaciones? ¡Ecuaciones con polinomios!

Y cuando se os pase la emoción, Nuria, Paula, Fernando, Miguel, Álex y Adrián, aquí va el último reto (mandadme una imagen por Instagram o enseñádmelo en clase):

Reto IV de p. Construye con regla y compás:

• Un segmento de longitud raíz de 5.
• Un segmento de longitud raíz de 3.

El plazo termina el próximo jueves de 4 de abril.

Para poneros los dientes largos

y, por si tenéis curiosidad, aquí os enlazo una entrada del blog Gaussianos que recopila información sobre las construcciones con regla y compás:

Construcciones con regla y compás

Pi (Tercera parte)

Recordad de la anterior entrada del reto:

Suma de Leibniz

Suma de Nilakantha

En la siguiente tabla podéis ver cómo van evolucionando las sumas anteriores según vamos añadiendo más números (en amarillo las cinco que os mandé como reto). Yo (mi ordenador más bien) he seguido sumando hasta los 30000 números. Por cierto, la segunda se llama suma de Nilakantha).

 El valor real es p = 3’1415926535897932384...

Vemos que hay una gran diferencia entre las dos sumas. Cierto que las dos se van acercando más al valor de p cuantos más números sumamos, pero parece claro que una es mucho más rápida que la otra. Por ejemplo, al sumar 30000 números con la suma de Leibniz sabemos que p está entre 3'14156 y 3'14163, es decir, tenemos sólo 3 cifras exactas de p; con la de Nilakantha llegamos hasta 3’141592653589, 12 cifras exactas de p.

Y ahí precisamente están las dos claves que marcaron (y siguen marcando) la carrera por conseguir cifras decimales de p:

1) Hay que utilizar sumas que se acerquen lo más rápido posible al verdadero valor de  p. En la actualidad se emplea una en la que cada vez que sumamos un número conseguimos 14 decimales exactos de p. Aquí nos lo cuentan:

El algoritmo de Chudnovsky

2) Mi ordenador habrá tardado una fracción de segundo en hacer las cuentas. Para intentar batir el record de cifras de p se utilizan potentes ordenadores.

Vamos a ver algunos momentos importantes en la "Carrera de  p":

- La mente más brillante en la historia de la Humanidad, Isaac Newton, dijo: "La naturaleza se reduce a un número: p. Quien descubra el misterio de p comprenderá el pensamiento de Dios", y tal vez por eso pasó unas cuantas tardes haciendo cuentas y calculó 15 decimales exactos... para lamentarse a continuación por haber perdido el tiempo haciendo cuentecitas inútiles.

- El aficionado a las matemáticas William Shanks dedicó casi 20 años de su vida a hacer cuentas para calcular 707 cifras decimales exactas de p... o eso creía: 70 años después, en 1944, usando una calculadora mecánica, se comprobó que "sólo" eran correctas hasta la 527.

- Una figura especial en el cálculo de las cifras de p es el portento indio Srinivasa Ramanujan, que encontró sumas de números que se acercaban muy rápido  al valor de p (el algoritmo de Chudnovsky se basa en un descubrimiento suyo). Os dejo una de sus genialidades (a ver si sois capaces de hacer bien la cuenta -con calculadora, claro-):

- Con la llegada de los ordenadores la carrera quedó en manos de los informáticos. Precisamente la semana pasada se batió el récord llegando a más de 31 billones de cifras. Para ello la informática japonesa Emma Haruka Iwao ejecutó el programa y-cruncher en 25 ordenadores durante 121 días. Escritas seguidas en el tamaño que estáis leyendo darían más de 150 vueltas a la Tierra.

Enlace a la lista de récords de cifras de p

Dos cositas para terminar:

- Sí, es una gran pérdida de tiempo y de electricidad tener 25 potentes máquinas dedicadas 121 días a hacer algo que no sirve para nada. Afortunadamente los ordenadores se emplean casi siempre para cosas mucho más importantes. Os enlazo un vídeo muy interesante:

El superordenador Mare Nostrum

- p también inspira a los "poetas":

Soy y seré a todos definible

mi nombre tengo que daros

cociente diametral siempre inmedible

soy de los redondos aros.

¿Feo? Bueno, eso es porque la gracia está en que al contar las letras de cada palabra obtenemos las 20 primeras cifras decimales de p. 

Reto III de p: Tenéis que escribir algo con sentido de entre 20 y 30 palabras (a ver si os sale poético, sabio y/o gracioso). El plazo termina el próximo jueves 4 de marzo.

Aunque son de mi época supongo que los conocéis:

Por si os sirve de ayuda aquí os enlazo:

Personajes de Barrio Sésamo

¡Superad esto!

Uffffff, yo lo odiaba, ¡qué aburrido era! (Pero acabo de ver este vídeo y me he desternillado de risa de lo malo que es):

¡Feliz Día de Pi!

Sigue el reto:

- Tenéis hasta esta noche para completar la primera prueba. A ver si os animáis alguno a pelearle la camiseta a Álex (que está lanzado y ya ha hecho las tres primeras pruebas).

Primera prueba de la camiseta

- Aquí os enlazo las dos siguientes. Tenéis de tiempo para responder hasta el próximo jueves 21 de marzo (¡ya llega la primavera!) a las 23:59.

Segunda prueba de la camiseta

Tercera prueba de la camiseta

EXTRA: en la segunda prueba se pide que aproximéis Pi calculando el área de dos cuadrados. Os animo a que lo intentéis también con dos hexágonos. Os doy una pista con la siguiente imagen:

Día de Pi: concurso de la camiseta

3-14 (mes-día) es 14 de marzo para los yanquis

¿Cómo lo vamos a celebrar en vuestro blog favorito? Con un concurso cuyo premio será una magnífica camiseta.

El ganador elegirá color, diseño, etc.

¿Qué hay que hacer? Leerse este previo:

Suma de infinitos números

y responder en los comentarios de la entrada al reto que se plantea antes de este próximo jueves 14 de marzo a las 23:59.

Después vendrán cuatro retos más, uno a la semana. Los que los respondáis todos correctamente, participaréis en el sorteo de una camiseta de Pi.

(P.D.) A veces me preguntáis que para qué sirve estudiar matemáticas. Por ejemplo, para que no os pasen cosas como a las del vídeo:

Pi (Segunda parte)

¿Cuántas cifras decimales tiene p? Aunque se intuía desde el principio, hubo que esperar al siglo XVIII para demostrar que p es un número irracional. Tiene pues infinitos decimales, no se repiten de forma periódica y, en este caso, no siguen ningún patrón: si queremos conocerlos no nos queda otra que calcularlos.

¿Sirve para algo calcular muchos decimales de p? Absolutamente para nada. A cualquier ingeniero o científico que trabaje en el mundo real le vale con saber unos pocos. (Hay una cuentecita que tenemos a tiro -no la quiero hacer ahora- para ver que con unos pocos decimales -me suena que son 39- podríamos calcular el tamaño de todo el Universo conocido con una precisión de un átomo de hidrógeno).

¿Para qué se calculan entonces? Como os dije cuando hablamos de raiz de 2, se trata de una especie de competición deportiva, al principio entre matemáticos, a la que en los últimos años se han unido informáticos con sus superordenadores. No todo es tan inútil como parece: algunas herramientas estudiadas para calcular las cifras decimales de p han tenido importantes aplicaciones prácticas.

¿Cómo se calculan los decimales de p? Como vimos en la anterior entrada del reto de Pi, la primera técnica empleada fue la de aproximar el área de la circunferencia de radio 1 con polígonos regulares tal y como había hecho Arquímedes.

En el siglo XVII se produjo en el mundo un gran desarrollo matemático (que permitió a su vez el progreso científico y económico de la época). Una de las cosas que más se estudiaron entonces fueron las sumas infinitas como la que vimos el otro día: os recuerdo que son sumas de números de manera que cuantos más sumamos más nos vamos acercando a un valor (a la suma). Por ejemplo:

Pues p apareció (a veces por sorpresa) como resultado de muchas de esas sumas infinitas. Un ejemplo es el que os puse en la Primera prueba de la camiseta (el famoso Problema de Basilea, resuelto por el gran Leonard Euler),

otro es la suma de Leibniz:

¿Cómo podemos aprovechar la anterior suma infinita para conseguir cifras decimales de p? Muy sencillo: cuantos más números sumemos más nos acercaremos a su verdadero valor. Vamos a ello:

y ya todo es cuestión de tener mucha paciencia... y mucho tiempo libre, porque haría falta sumar no cinco, sino cinco millones de números de la suma de Leibniz para conseguir seis cifras decimales exactas (3'141592) de p.

Tercera prueba del reto de la camiseta.  Utiliza la siguiente suma infinita:

para conseguir cinco aproximaciones de p (empieza sólo con el 3 y ve sumando un término más cada vez como acabamos de hacer arriba) y compara los resultados obtenidos con los proporcionados por la suma de Leibniz. (¡Naturalmente podéis utilizar la calculadora!). ¿Cuál es la conclusión de la comparación?

Pi (Primera parte)

¿Sabéis qué tenéis que hacer si alguna vez os encontráis con un extraterrestre y no sabéis de qué hablar, porque no entendéis su idioma y porque no tenéis ni idea de cuáles son los temas de conversación típicos de su planeta? Tenéis que decirle:

(bip, bip), (bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip)...

Cuando agotéis ese tema de conversación (al llegar a los 13 bips ya deberíais tener claro, el extraterrestre y vosotros, que estáis hablando de los números primos), podéis hacer el siguiente dibujo:

que refleja que cuando una rueda gira una vuelta completa recorre una distancia tres veces y "un poquito más" su diámetro, y podéis enseñarle a vuestro nuevo amigo el símbolo que nosotros utilizamos para referirnos a ese número que también aparece como el área de una circunferencia de radio 1,

y seguramente, en ese mismo instante él os enseñará el símbolo que utilicen en su planeta para referirse a uno de los objetos más fascinantes del Universo, el número p. ¡Las matemáticas son el lenguaje del Universo!

Nota: Esta introducción me ha salido un poco marciana porque últimamente estoy leyendo libros de ciencia ficción que van de este asunto.

La voz de su amo

Enlace a una entrevista sobre el tema

p nos acompaña a los seres humanos prácticamente desde que descubrimos la rueda y en cuanto empezamos a desarrollar las matemáticas intentamos calcularlo con exactitud. Uno de los métodos más simples y elegantes fue el utilizado por Arquímedes. Su idea consistió en aproximar el valor del área de una circunferencia de radio 1 (es decir, p), inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares (que son aquellos que tienen todos sus lados iguales). Por ejemplo, podemos empezar con el cuadrado:

Fijaos que el valor de p estará entre lo que valgan las áreas del cuadrado inscrito (que será menor) y el circunscrito (que será mayor). De hecho, esta es la segunda prueba:

Segunda prueba del reto de la camiseta. Calcula las áreas de los anteriores cuadrados (inscrito y circunscrito) para decir entre qué dos valores está p. Tenéis que contestar, únicamente la solución, en los comentarios de esta entrada y, luego en clase, enseñarme en papel las correspondientes explicaciones. Al final de la entrada os doy una pista.

Seguimos: naturalmente, cuantos más lados tenga el polígono que utilicemos, más se "pegará" a la circunferencia, y mejor será la aproximación que consigamos:

Pentágono, hexágono y octógono.

Arquímedes (III a. C.) llegó a hacer los cálculos para un polígono con ¡96 lados! y consiguió la siguiente aproximación:

que si pasáis a decimales veréis que proporciona 3'14, es decir, de forma exacta las dos primeras cifras de p.

Terminamos en modo preguntas y respuestas:

¿Por qué se utilizan polígonos regulares? Porque a ellos es "fácil" calcularles el área.

¿Por qué Arquímedes paró con 96 lados? En realidad empezó con 6 lados y fue duplicando cada vez: 12, 24, 48 y 96. Seguramente llegaría a intentarlo con 192 lados pero, o le aburrió el tema, o se murió antes de conseguir acabar las cuentas, que eran cada vez más pesadas.

¿Alguien continuó utilizando el método de Arquímedes? Sí, hasta que se descubrieron otros mejores. Algunos siglos después, hacia el año 250 d. C., el matemático chino Liu Hui aproximó las cinco primeras cifras (3'14159) con un polígono de 3072 lados; ya en el siglo XVII Vieta hizo las cuentas para polígonos con 393216 lados y llegó a las nueve cifras de precisión (3'141592653, más o menos lo que aparece en nuestras calculadoras cuando les pedimos p); y el record lo consiguió Ludolph van Ceulen, un alemán que dedicó gran parte de su vida a calcular:

 3'14159265358979323846264338327950288

¡Con razón pidió que grabasen sobre su tumba esas 35 cifras decimales!

¿Cuáles son los métodos mejores que el de Arquímedes? Próximamente en vuestro blog matemático favorito.

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Pista para la prueba: en la 3ª evaluación estudiaremos el teorema de Pitágoras, que relaciona las longitudes de los tres lados en un triángulo rectángulo (los lados se llaman: catetos, que son los dos que forman el ángulo de 90º, e hipotenusa, que es el lado opuesto a dicho ángulo).

En concreto, el teorema de Pitágoras dice que (es habitual escribirlo de cualquiera de las dos formas siguientes):

por ejemplo:

Pues es el teorema de Pitágoras el que os va a ayudar a obtener la longitud del lado (y con ello el área) del cuadrado inscrito. Este problema lo haremos en clase en la 3ª evaluación: a ver si sois capaces de sacarlo ahora por vuestra cuenta. ¡Suerte!

Sumemos infinitos números

¡Álex, deja un ratito la Play que comienza el Reto de la camiseta! Esta entrada es auxiliar para lo que vendrá después. Os voy a presentar un concepto que se estudia en la universidad. ¡Concentraos!

Todos sabéis sumar números enteros (2+3=5), decimales (2'23+3'9=6'13), y muy pronto hasta los de 1º sabréis sumar fracciones:

¡Uy, perdón, vuestro profesor es un cutre! (Lo elegante es usar el mínimo común múltiplo).

¿Creéis que ya sabéis sumarlo todo? Queridos míos, si algo bueno tienen las matemáticas es que NUNCA JAMÁS, NADIE lo sabrá TODO.

Os voy a hacer una pregunta, ¿podemos sumar infinitos números? No, por favor, no me pongáis esa cara:

¿Cuántos números dices que hay que sumar?

Es posible que ahora estéis pensando, "¿sumar infinitos números? ¿eso dará infinito, no?". Veamos un ejemplo:

Pues hombre, aunque nos siga pareciendo un poco raro eso de sumar infinitos números, algo dentro de nuestra cabecita nos dice que si nos ponemos a sumar unos "y no paramos nunca", la suma total es infinito. Vale. Otro ejemplo:

Vamos a pasarlo a decimales para situarnos:

Hummmmm, ¿qué está pasando aquí? La idea es que tenemos una "pelea" entre dos conceptos infinitos: el que la cantidad de números que queremos sumar es infinita, y que cada vez vamos a ir sumando números que se van haciendo "infinitamente más pequeños". En estas situaciones, dependiendo de "cuál de los dos infinitos gane la pelea", puede ocurrir que la suma dé infinito... ¡o dé un número!

¿No me creéis? Coged un folio. (¡Hacedlo de verdad!). Partidlo por la mitad. Dejad una mitad (1/2 de folio) a la derecha y quedaos con la otra mitad. Partid esa mitad por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/4 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/8 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/16 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/32 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. (...)

Si no parásemos "nunca", ¿qué acabaríamos teniendo en el montoncito de la derecha? ¡Un folio completo! (hecho infinitos trocitos eso sí). Es decir:

Dicen que una imagen vale más que mil palabras:

Imagen: http://en.citizendium.org/wiki/File:Geometric_series.png

Os toca:

Primera prueba del reto de la camiseta.

1) Coge una calculadora.

2) Haz la siguiente suma de 15 números.

3) Multiplica el resultado por 6.

4) Y por último, haz la raíz cuadrada del resultado del paso anterior. ¿Resultado?

En el futuro os comentaré qué sale si hacéis lo anterior sin parar en el 15, siguiendo hasta el infinito... ¿alguna idea? ¿algún numerillo famoso de las matemáticas?

Hasta el infinito...y más allá.