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| ¡El número primo de Halloween! |
Aquí os lo enlazo:
Las soluciones son:
1a) 10
1b) 10
2a) 0 (doble), 1, 3, -5
2b) 2, -2
2c) 1, 5
2d) 5
2e) 0, 3
2f) 3
3a) (11, 13) y (13, 11)
3b) (5, 3), (5, -3), (-5, 3) y (-5, -3)
miércoles, 31 de octubre de 2018
1º de BHCS: control de ecuaciones
Aquí os lo enlazo:
Las soluciones son:
1a) 10
1b) 10
2a) 0 (doble), 1, 3, -5
2b) 2, -2
2c) 1, 5
2d) 5
2e) 0, 3
2f) 3
3a) (11, 13) y (13, 11)
3b) (5, 3), (5, -3), (-5, 3) y (-5, -3)
lunes, 29 de octubre de 2018
2º de ESO: control de operaciones
En los siguientes enlaces os cuelgo el control y la solución:
Teniendo en cuenta que la próxima semana tenemos un examen en el cual 3 puntos serán de operaciones similares, os recomiendo que esta misma tarde descarguéis el control, lo hagáis y consultéis después la solución.
Teniendo en cuenta que la próxima semana tenemos un examen en el cual 3 puntos serán de operaciones similares, os recomiendo que esta misma tarde descarguéis el control, lo hagáis y consultéis después la solución.
domingo, 28 de octubre de 2018
One small step
Me ha hecho llorar (lo que, todo hay que decirlo, no es muy difícil):
Y este otro de mates:
martes, 23 de octubre de 2018
La conjetura de Golbach
Estos días andamos en 1º sacándole partido al Teorema Fundamental de la Aritmética, el que dice (en nuestra versión pachanguera) que "los números primos son los ladrillos con los que se construyen todos los números, y que la multiplicación es el cemento que los une", y va Leire (1º C) y me dice que le está pareciendo muy fácil, que se me aburre, que le ponga un problema un poquito más difícil, y que nada de calculadoras de premio, que ella por menos de un millón de dólares no se molesta en resolverlo.
Leire, tus deseos son órdenes para mí:
Reto: Demuestra que cualquier número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.
Vamos a ver de qué va el asunto, que los números primos funcionan bien con la multiplicación, pero esto de andar sumándolos es un poco raro:
4=2+2 (puede ser el mismo primo sumado dos veces)
6=3+3
8=3+5
10=3+7=5+5 (éste se puede poner de dos formas)
12=5+7
14=3+11=7+7
16=3+13=5+11
...
Pero claro, esto no es una manera de demostrar nada. Los números pares son infinitos, así que no sirve "ir probando" porque no acabaríamos nunca. Necesitaríamos encontrar algún razonamiento general que valga para cualquier número par. ¿Se os ocurre algo?
Podéis intentarlo, pero no os desmoralicéis si no os sale porque os estoy tomando el pelo. El resultado de arriba es la Conjetura de Golbach (en matemáticas una conjetura es algo que se cree cierto pero que todavía no se ha conseguido demostrar). Se trata de un problema que los mejores matemáticos llevan intentando resolver, sin éxito, casi 300 años. El que lo haga se ganará la inmortalidad (y hasta es posible que salga en el telediario, eso sí, al final, después de la noticia de algún nuevo corte de pelo de Messi o chorradas por el estilo).
Por cierto, os presento al Messi de las matemáticas. ¡Esto sí que es impresionante, y no un tío atontadillo en calzoncillos dándole patadas a un balón!
Antes de ponernos a competir con Terence para demostrar la Conjetura de Golbach, ¿os parece que calentemos con un reto más light?
Reto: Encuentra todas las descomposiciones como suma de dos números primos, de los números pares que van desde el 16 hasta el 30. Os hago yo el primero y el último:
16=3+13=5+11
...
30=7+23=11+19=13+17 (éste se puede poner de tres formas)
(Tenéis de tiempo hasta el próximo domingo 28 de noviembre. Los que respondáis correctamente acumularéis 10 puntos para el reto de la calculadora).
Leire, tus deseos son órdenes para mí:
Reto: Demuestra que cualquier número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.
Vamos a ver de qué va el asunto, que los números primos funcionan bien con la multiplicación, pero esto de andar sumándolos es un poco raro:
4=2+2 (puede ser el mismo primo sumado dos veces)
6=3+3
8=3+5
10=3+7=5+5 (éste se puede poner de dos formas)
12=5+7
14=3+11=7+7
16=3+13=5+11
...
Pero claro, esto no es una manera de demostrar nada. Los números pares son infinitos, así que no sirve "ir probando" porque no acabaríamos nunca. Necesitaríamos encontrar algún razonamiento general que valga para cualquier número par. ¿Se os ocurre algo?
Podéis intentarlo, pero no os desmoralicéis si no os sale porque os estoy tomando el pelo. El resultado de arriba es la Conjetura de Golbach (en matemáticas una conjetura es algo que se cree cierto pero que todavía no se ha conseguido demostrar). Se trata de un problema que los mejores matemáticos llevan intentando resolver, sin éxito, casi 300 años. El que lo haga se ganará la inmortalidad (y hasta es posible que salga en el telediario, eso sí, al final, después de la noticia de algún nuevo corte de pelo de Messi o chorradas por el estilo).
Por cierto, os presento al Messi de las matemáticas. ¡Esto sí que es impresionante, y no un tío atontadillo en calzoncillos dándole patadas a un balón!
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| La foto es antigua, ¡ya es cuarentón! (Haz clic sobre la foto para ir a su blog) |
Antes de ponernos a competir con Terence para demostrar la Conjetura de Golbach, ¿os parece que calentemos con un reto más light?
Reto: Encuentra todas las descomposiciones como suma de dos números primos, de los números pares que van desde el 16 hasta el 30. Os hago yo el primero y el último:
16=3+13=5+11
...
30=7+23=11+19=13+17 (éste se puede poner de tres formas)
(Tenéis de tiempo hasta el próximo domingo 28 de noviembre. Los que respondáis correctamente acumularéis 10 puntos para el reto de la calculadora).
lunes, 22 de octubre de 2018
Los números irracionales (2ª parte)
Vamos a viajar al siglo V a.C., a la antigua Grecia. En ella existía un grupo de matemáticos/filósofos (entonces venían a ser lo mismo) que eran conocidos como los pitagóricos (no hace falta explicar de quién eran seguidores). Su principal creencia era que todo el Universo podía ser explicado con números y que todos los números podían formarse dividiendo el 1 en partes iguales (ellos decían que todos los números eran conmensurables porque podían compararse con el 1). Esencialmente la idea es el juego de palitos que vimos el otro día. Por cierto, la mayoría de vosotros pensáis lo mismo:
Traducido a nuestras matemáticas actuales, como los de segundo ya sabéis y los de primero pronto decubriréis, responder que sí en la encuesta, equivale a pensar que cualquier número se puede poner en forma de fracción. En algunos casos eso es cierto:
Los griegos pensaban que sí, hasta que uno de ellos, Hipaso de Metaponto, aplicó el Teorema de Pitágoras a un triángulo como el de la derecha y se preguntó, ¿cuál será la fracción que vale raíz cuadrada de 2?
Como Hipaso manejaba perfectamente el Teorema Fundamental de la Aritmética (¡sí, el de los números primos haciendo de ladrillos!), no le costó mucho deducir, para su sorpresa, que no había ninguna fracción cuyo valor fuese raíz de 2. No es difícil y os lo podría intentar explicar, pero os saldría demasiado humo por las orejas, así que lo dejo en las manos de vuestro futuro profesor de 3º o 4º de ESO (para los curiosos: es la primera de las dos demostraciones a las que lleva el siguiente enlace):
Este descubrimiento provocó un verdadero sunami en la escuela pitagórica. Cuenta la leyenda que sus compañeros lo arrojaron al mar por revelar fuera de la secta esta catástrofe, aunque en realidad parece ser que lo que hicieron fue organizar un simulacro de funeral, con tumba incluida, que simbolizaba que para ellos Hipaso pasaba a estar muerto.
En la actualidad sabemos que sólo los números decimales exactos (que tienen un número finito de cifras decimales) y los números decimales periódicos (aquellos en los que hay un bloque que se repite continuamente) se pueden escribir en forma de fracción (los llamamos números racionales). Los que tienen infinitas cifras decimales sin periodo son los números irracionales (¡el nombre lo dice todo!) y raíz de 2 tiene el honor de haber sido el primero que descubrimos gracias a Hipaso.
Vamos a responder a algunas preguntas que pueden venirnos a la cabeza:
¿Cuántas cifras decimales tiene raíz de 2? Infinitas porque es irracional. Además no hay ningún bloque que se repita periódicamente.
¿Cómo podemos conocer sus cifras decimales? En este caso sólo hay una manera, calculándolas. Es una tarea muy pesada que se hace con ordenadores. En el futuro os explicaré algunas técnicas. Aquí va un enlace a una página web en la que podéis ver el primer millón de cifras de raíz de 2 (para la calculadora: 1'414213562...)
¿Por qué se calculan entonces tantas cifras decimales? Es una especie de competición "deportiva" entre matemáticos e informáticos para demostrar la potencia de sus técnicas y sus superordenadores.
Vamos, que hay por ahí matemáticos perdiendo el tiempo. No del todo. Las técnicas que se desarrollan para calcular los decimales pueden tener aplicaciones prácticas en otros campos.
Una última pregunta: entonces, ¿los números irracionales son aquellos de los que no sabemos cómo van sus cifras decimales? No. Son aquellos que tienen infinitas y no hay bloques (periodos) que se repiten, pero sí que pueden seguir patrones. Por ejemplo, son números irracionales:
0'12345678910111213141516... ¿cómo sigue?
0'010010001000010000010000001... ¿cómo sigue?
Otra, otra: ¿cuántos números racionales hay? ¿e irracionales? Hay infinitos de los dos tipos... pero... y quien quiera entender esto tendrá que ir a la Universidad a estudiar matemáticas... ¡¡hay más números irracionales que racionales!!
¡La última de verdad! Y aparte de los racionales y los irracionales, ¿hay más números?
Haylos (¿a que quedaría bonito como póster en vuestra habitación?):
En la actualidad sabemos que sólo los números decimales exactos (que tienen un número finito de cifras decimales) y los números decimales periódicos (aquellos en los que hay un bloque que se repite continuamente) se pueden escribir en forma de fracción (los llamamos números racionales). Los que tienen infinitas cifras decimales sin periodo son los números irracionales (¡el nombre lo dice todo!) y raíz de 2 tiene el honor de haber sido el primero que descubrimos gracias a Hipaso.
Vamos a responder a algunas preguntas que pueden venirnos a la cabeza:
¿Cuántas cifras decimales tiene raíz de 2? Infinitas porque es irracional. Además no hay ningún bloque que se repita periódicamente.
¿Cómo podemos conocer sus cifras decimales? En este caso sólo hay una manera, calculándolas. Es una tarea muy pesada que se hace con ordenadores. En el futuro os explicaré algunas técnicas. Aquí va un enlace a una página web en la que podéis ver el primer millón de cifras de raíz de 2 (para la calculadora: 1'414213562...)
¿Sirve para algo calcular tantas cifras decimales? Para nada. En cualquier situación real en la que se necesite hacer cálculos con raíz de 2 (construir una casa, lanzar un satélite, fabricar un coche...), con conocer unas pocas cifras decimales sobra.
¿Por qué se calculan entonces tantas cifras decimales? Es una especie de competición "deportiva" entre matemáticos e informáticos para demostrar la potencia de sus técnicas y sus superordenadores.
Vamos, que hay por ahí matemáticos perdiendo el tiempo. No del todo. Las técnicas que se desarrollan para calcular los decimales pueden tener aplicaciones prácticas en otros campos.
Una última pregunta: entonces, ¿los números irracionales son aquellos de los que no sabemos cómo van sus cifras decimales? No. Son aquellos que tienen infinitas y no hay bloques (periodos) que se repiten, pero sí que pueden seguir patrones. Por ejemplo, son números irracionales:
0'12345678910111213141516... ¿cómo sigue?
0'010010001000010000010000001... ¿cómo sigue?
¡La última de verdad! Y aparte de los racionales y los irracionales, ¿hay más números?
Haylos (¿a que quedaría bonito como póster en vuestra habitación?):
miércoles, 17 de octubre de 2018
1º de ESO: examen de potencias y raíces
En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:
Es importante que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.
Es importante que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.
lunes, 15 de octubre de 2018
Entrenador de monos
Hay una frase que me dedicáis de tiempo en tiempo: "David, ¿puedo hacerlo de esta otra forma? Es que así lo entiendo mejor que de la forma que nos dices tú".
Habitualmente, esa "otra forma" que "entendéis mejor", consiste en aplicar una regla, mientras que "la forma que os digo yo", suele ser reproducir el razonamiento que hay detrás de la misma.
Os hago una pregunta: ¿hay algo que entender al aplicar una regla, al seguir las instrucciones de una receta?
En matemáticas, la regla, la receta, es el resultado final al que se llega después de un razonamiento, y es muy cómoda desde un punto de vista práctico (la aplicas y ya está, consigues el resultado que querías), pero completamente inútil cuando se trata (y es de lo que se trata) de desarrollar vuestro cerebro y vuestra capacidad de razonamiento.
Dejadme poneros un ejemplo tonto: calentar un vaso de leche es muy fácil (Paso 1: se mete en el microondas, Paso 2: se pone el temporizador en un minuto y se le da a ON, Paso 3: cuando suena el timbre se saca el vaso del microondas). Insisto, ¿hay algo que entender para seguir las instrucciones y calentar un vaso de leche?
Pues bien, como vuestro profesor no tengo ningún interés en que sepáis calentar vasos de leche, quiero que entendáis lo que hay detrás: ¿qué es el calor? ¿por qué el microondas calienta la leche?
Tengo una respuesta que me sale sola cada vez que me decís la frase del principio (algunos ya me la habéis oído): yo no soy un entrenador de monos. Por dos motivos:
1) Porque sería una falta de respeto trataros como a monos, ya que sois infinitamente más inteligentes.
2) Porque me sentiría un profesor fracasado si os tratase como a monos, ya que ¡no tengo ni idea de cómo podría conseguir que le ganaseis al del vídeo! Menudo crack el chimpancé, seguro que se llama Gauss (pronto os contaré quién es Gauss).
Habitualmente, esa "otra forma" que "entendéis mejor", consiste en aplicar una regla, mientras que "la forma que os digo yo", suele ser reproducir el razonamiento que hay detrás de la misma.
Os hago una pregunta: ¿hay algo que entender al aplicar una regla, al seguir las instrucciones de una receta?
En matemáticas, la regla, la receta, es el resultado final al que se llega después de un razonamiento, y es muy cómoda desde un punto de vista práctico (la aplicas y ya está, consigues el resultado que querías), pero completamente inútil cuando se trata (y es de lo que se trata) de desarrollar vuestro cerebro y vuestra capacidad de razonamiento.
Dejadme poneros un ejemplo tonto: calentar un vaso de leche es muy fácil (Paso 1: se mete en el microondas, Paso 2: se pone el temporizador en un minuto y se le da a ON, Paso 3: cuando suena el timbre se saca el vaso del microondas). Insisto, ¿hay algo que entender para seguir las instrucciones y calentar un vaso de leche?
Pues bien, como vuestro profesor no tengo ningún interés en que sepáis calentar vasos de leche, quiero que entendáis lo que hay detrás: ¿qué es el calor? ¿por qué el microondas calienta la leche?
Tengo una respuesta que me sale sola cada vez que me decís la frase del principio (algunos ya me la habéis oído): yo no soy un entrenador de monos. Por dos motivos:
1) Porque sería una falta de respeto trataros como a monos, ya que sois infinitamente más inteligentes.
2) Porque me sentiría un profesor fracasado si os tratase como a monos, ya que ¡no tengo ni idea de cómo podría conseguir que le ganaseis al del vídeo! Menudo crack el chimpancé, seguro que se llama Gauss (pronto os contaré quién es Gauss).
Los números irracionales (1ª parte)
Cuenta la leyenda que una persona murió (¿asesinada?) por estropearles a los griegos el siguiente juego. Os cuento las reglas y hacemos una encuesta.
Supongamos que tenemos un palito de longitud 1 (da igual la unidad, metro si queréis). Con ese palito podemos hacer dos cosas:
1) Podemos partirlo en trozos, con la única condición de que sean todos iguales.
2) Podemos coger algunos trozos de los anteriores (cuantos queramos: ninguno, unos pocos, muchos, o todos) y volverlos a pegar.
Ahora nos preguntan si, cogiendo un palito y siguiendo esas dos reglas, podemos formar palitos que midan exactamente la longitud que nos digan entre 0 y 1. Vamos a hacer algunos ejemplos:
¿Podemos formar un palito que mida 0’3? Pues sí:
¿Podemos formar un palito que mida 0’13? Sí, con una idea parecida:
Si habéis pillado la idea deberíais contestar fácilmente a:
Pregunta 1: ¿Podemos formar un palito que mida 0’423? (Y en realidad, cualquier longitud con tres cifras decimales).
Pregunta 2: ¿Podemos formar un palito que mida 0’9677? (Y en realidad, cualquier longitud con cuatro cifras decimales).
¡Nota importante! En Matemáticas contestar no es decir Sí o No, es, aparte de eso, justificar la respuesta. En este caso, si es que sí, ¿cómo conseguís un palito con cada longitud que nos piden?
Pero también podemos formar longitudes con infinitas cifras decimales, por ejemplo, ¿podemos formar un palito de longitud 0'6666666666666...? Fácilmente, si recordamos que ese número escrito en forma de fracción es dos tercios (¡podéis usar la calculadora!):
Aquí llega la encuesta:
Supongamos que tenemos un palito de longitud 1 (da igual la unidad, metro si queréis). Con ese palito podemos hacer dos cosas:
1) Podemos partirlo en trozos, con la única condición de que sean todos iguales.
2) Podemos coger algunos trozos de los anteriores (cuantos queramos: ninguno, unos pocos, muchos, o todos) y volverlos a pegar.
Ahora nos preguntan si, cogiendo un palito y siguiendo esas dos reglas, podemos formar palitos que midan exactamente la longitud que nos digan entre 0 y 1. Vamos a hacer algunos ejemplos:
¿Podemos formar un palito que mida 0’3? Pues sí:
¿Podemos formar un palito que mida 0’13? Sí, con una idea parecida:
Pregunta 1: ¿Podemos formar un palito que mida 0’423? (Y en realidad, cualquier longitud con tres cifras decimales).
Pregunta 2: ¿Podemos formar un palito que mida 0’9677? (Y en realidad, cualquier longitud con cuatro cifras decimales).
¡Nota importante! En Matemáticas contestar no es decir Sí o No, es, aparte de eso, justificar la respuesta. En este caso, si es que sí, ¿cómo conseguís un palito con cada longitud que nos piden?
Pero también podemos formar longitudes con infinitas cifras decimales, por ejemplo, ¿podemos formar un palito de longitud 0'6666666666666...? Fácilmente, si recordamos que ese número escrito en forma de fracción es dos tercios (¡podéis usar la calculadora!):
Los que contestéis a las dos preguntas de más arriba (en los comentarios del blog) y participéis en la encuesta (para identificaros os va a pedir una dirección de correo electrónico), habréis pasado la 1ª prueba para participar en el sorteo de 3 calculadoras científicas. El plazo termina el próximo domingo 21 de octubre.
miércoles, 10 de octubre de 2018
2º de ESO: examen de números enteros
En los siguientes enlaces os cuelgo los exámenes:
| Examen de 2º B | Solución |
|---|---|
| Examen de 2º C | Solución |
Quiero que este puente hagáis el examen del otro grupo. Esta parte de la asignatura queda aparcada hasta el examen global de la 1ª evaluación y es importante que no queden dudas pendientes.
viernes, 5 de octubre de 2018
lunes, 1 de octubre de 2018
Codificador/descodificador de mensajes
Lo primero, ¡enhorabuena a Álex y Miguel! Esta semana sortearemos a cara y cruz quién se lleva el premio.
Con una calculadora, aprovechando la pista (la raíz entera de 41989 es 204) y buscando una lista de números primos
llegamos a que:
41989=199x211
de manera que las cifras del menor de ellos suman 1+9+9=19.
Así, el mensaje codificado está escrito trasladando el alfabeto 19 lugares a la derecha, es decir:
y ya sólo nos queda hacer la descodificación, una tarea pesada de esas en las que los ordenadores son los mejores amigos del hombre:
En el siguiente enlace tenéis un programita para codificar y descodificar mensajes. Si queréis probarlo descargadlo en vuestro ordenador (no funciona en línea). Creo que no debería dar problemas por estar hecho con una versión antigua de Excel. Ya me diréis.
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