miércoles, 30 de enero de 2019

1º de ESO: preparando el examen de fracciones

El examen del próximo miércoles tendrá un formato similar al que tenéis colgado del año pasado (examen y solución). Se trata de un examen denso, que abarca muchas tareas, y su preparación se os puede hacer dura. Mi consejo:

Centraos primero en entender lo más básico; prefiero que me sepáis hacer bien unas cuantas cosas a que queráis abarcarlo todo, os veáis superados, os sintáis inseguros, os bloqueéis y no me hagáis casi nada.

Veamos:
  • Habrá varios ejercicios (como los de esta fotocopia que os di en clase) dedicados al hecho de que las fracciones son una forma de escribir números. Son ejercicios asequibles y quiero que todos os aseguréis de que los domináis.
    • Pasar de decimal a fracción y viceversa.
    • Simplificar hasta la fracción irreducible.
    • Estudiar si varias fracciones son equivalentes y ejercicios del tipo "cuánto tiene que valer x para que dos fracciones sean equivalentes" (¡hacedlos con elegancia, por favor!).
    • Ordenar fracciones.
  • Habrá operaciones combinadas con fracciones. Para entrenar esto, imprimid el control de fracciones de hoy y hacedlo en unos 30 minutos. Después, consultad la solución, detectad los fallos e intentad mejorar vuestra habilidad. Aseguraos primero de que entendéis perfectamente los ejercicios fáciles antes de meteros con los más complicados. El orden y la concentración son muy importantes. (¡Simplificad en cuanto se pueda!).

  • Hincad los codos sobre esa maravillosa hoja resumen que me vais a preparar (mañana os explico exactamente lo que quiero), machacad las tres situaciones básicas que hemos estudiado (las de parte, total, fracción) y pelearos con los dos problemas más complicados que hemos llamado problema de la suma y problema del producto. Aquí os dejo las soluciones de la hoja de ejercicios que utilizamos en clase (si detectáis alguna errata me lo decís): 

Quiero que os deis cuenta de que estáis haciendo problemas que en el fondo son iguales (vacas y ovejas, Italia y Francia, huerta y árboles frutales, comedia y pelis de terror... ¡qué más da!).

Un último consejo:

Estudiadme como si tuviésemos el examen el lunes. ¡Ánimo!

viernes, 25 de enero de 2019

2º de ESO: fórmula de las ecuaciones de 2º grado

Simplemente por diversión, por amor propio, por orgullo... a ver si alguno podéis con esto (es muy muy duro):

Fórmula de las ecuaciones de segundo grado

Se atribuye a Einstein la siguiente frase (aunque no es verdad que la dijera):


Esa será la prueba de que lo hayáis entendido. ¡A por vuestras abuelas, que no se os escapen!

miércoles, 23 de enero de 2019

Concurso de primavera

Aunque hoy no lo parezca... Spring in coming!

A finales de febrero o principios de marzo 
realizaremos el examen clasificatorio para la Fase Final del Concurso de Primavera. Ya os confirmaré lugar, día y hora exactos.

¿Quiénes podéis participar?  Todos los que queráis... pero debéis mostrar un poquito de interés previo: tenéis que intentar hacer (y entregarme) los ejercicios del examen del siguiente enlace:


¿Y después? Los que paséis el examen clasificatorio accederéis a la la Fase Final del concurso que se celebrará el sábado día 13 de abril de 2019 a las 11.00 de la mañana en las aulas del COMPLEJO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO del Campus Universitario de la Universidad de La Rioja.

¿Quiénes competís? Hay varios niveles. En el vuestro (Nivel 2) competiréis con todos los alumnos de 1º y de 2º de ESO de La Rioja.

¿Y cómo será la prueba? Similar al examen que os he enlazado.

¿Merece la pena que os apuntéis? Es sobre todo una actividad recreativa para los que disfrutéis con las matemáticas y os queráis retar a vosotros mismos.

¿Cómo podéis prepararos? La Sociedad Riojana de Profesores de Matemáticas ha creado una web en la que podéis consultar exámenes de otros años y resolver ejercicios online (pulsad directamente en Acceder, sin Usuario ni Contraseña; si los tenéis de otro año podéis usarlo).

domingo, 20 de enero de 2019

¿N=NP? (Final)

Recapitulamos:

Los problemas P son aquellos para los que CONOCEMOS un algoritmo que permite resolverlo rápidamente.

Los problemas NP son aquellos para los que CONOCEMOS un algoritmo que permite resolverlo... pero en realidad casi nos da igual porque tardaríamos muchísimo tiempo en hacerlo. Es como si en la práctica fuesen imposibles de resolver.

Y la palabra clave es ese CONOCEMOS: podemos preguntarnos, para los problemas NP, ¿no existirá un algoritmo más rápido y lo que pasa es que todavía no lo hemos descubierto? Dicho de otra forma, ¿no será que los problemas NP son en realidad problemas P, pero todavía no lo sabemos? Más corto: ¿P=NP?

(Por ejemplo, nos preguntamos: ¿existe algún algoritmo -mejor que los que utilizamos- que nos permitiría saber rápidamente si un número es o no primo, y lo que pasa es que todavía no lo hemos descubierto?).

Vamos terminando:

¿Cuál se cree que es la respuesta? La inmensa mayoría de los matemáticos piensa que no, que para los problemas NP no existen algoritmos mejores a los que ya conocemos, que P no es igual a NP. Pero... René Descartes, uno de los mejores matemáticos de la historia, dijo que la mente humana nunca conseguiría resolver algunos problemas... que ahora sabe hacer cualquier buen alumno de bachillerato de ciencias.

¿Y esto sirve para algo, tiene alguna utilidad? Los problemas NP son la base de la criptografía (que es la codificación de la información para que no pueda verla nadie más que quien la envía y quien la recibe). Teniendo en cuenta que nuestras comunicaciones y nuestra actividad financiera están completamente informatizadas, que sean seguras depende de que los problemas NP no sean P.

Pegadle un vistazo a este vídeo de Eduardo (fijaos en lo que dice a los 4:27 minutos):


Cuando Eduardo emplea la palabra "imposible" debería decir, "imposible siempre y cuando NP no sea P". Acabo de mirarlo y un bitcoin (la moneda de la que habla en el vídeo) vale ahora mismo unos 3000 euros (hace poco más de un año llegó a los 16000). En el mismo momento en el que alguien descubriese algoritmos rápidos para los problemas NP (es decir, que P=NP) el valor de un bitcoin sería exactamente 0 euros.

¿Y si los problemas NP no son P, como parece que es, todo está tranquilo? Pues esto todavía se complica un poco más porque hay otra amenaza en el horizonte: los ordenadores cuánticos.

¿Ordenadores cua.. qué? La física cuántica (se llama así a la parte de la física que se encarga de estudiar el mundo subatómico) es rara, rara, rara...


Bueno, pues parece que vamos a poder aprovechar estas "cosas raras" para construir ordenadores "infinitamente" más rápidos que los que tenemos en la actualidad. Por seguir el ejemplo de la minería, un ordenador actual es un pico y una pala, y un ordenador cuántico va a ser una perforadora capaz de "llegar al centro de la tierra". Copio y pego el párrafo de una noticia que leí hace poco:

En 2015 la Agencia Nacional de Seguridad (NSA) de EE UU anunció que los estándares actuales de criptografía de clave pública no son seguros a largo plazo y pidió que se iniciara cuanto antes la búsqueda de algoritmos de cifrado de clave pública seguros contra ordenadores cuánticos, también llamados postcuánticos.



¿Sabéis la moraleja de todo esto?

LAS MATEMÁTICAS DOMINAN EL MUNDO

Por favor, no volváis a preguntar nunca más, ¿para qué sirven las matemáticas? En todo caso, preguntad si hay algo para lo que no sirvan.

Os dejo un par de enlaces:

sábado, 19 de enero de 2019

¿P=NP? (1ª parte)

¿P=NP? es uno de los problemas más importantes de las matemáticas en la actualidad. Tiene, además, "peligrosas" implicaciones en el mundo en el que vivimos. Hace tiempo os propuse que intentaseis hacer a mano, en menos de 5 minutos, los siguientes cuatro problemas:

Problema 1: divide 23 entre 7.

Problema 2: comprueba si 23 es un número primo.

Problema 3: divide 2305843009213693951 entre 7.

Problema 4: comprueba si 2305843009213693951 es un número primo.


Poyejali! (¡Vamos allá!, en ruso, pronunciado por Yuri Gagarin al despegar rumbo al espacio).

En los problemas 1 y 3 nos piden dividir dos números entre 7. Ya hace muchos años que os enseñaron el algoritmo de la división, es decir, el procedimiento que hay que seguir cuando uno quiere dividir dos números. Relojes a cero y ¡adelante!


En los problemas 2 y 4 nos piden que comprobemos si dos números son primos. Si recordáis, en la 1ª evaluación vimos el algoritmo que nos permitía hacer dicha tarea: comprobar si el número que nos dan es divisible (o no) por todos los números primos hasta su raíz entera. A ver cómo se me da (no utilizo criterios de divisibilidad):


Y ¿es 2305843009213693951 primo? Pues la verdad es que, a mano, Nacho, que parece que calcula "algo mejor" que yo, necesitaría (me invento la cifra y seguramente me estaré quedando corto) décadas para hacer todas las cuentas.


Conclusiones:
  • Sabemos resolver los dos problemas (dividir un número por otro y comprobar si un número es o no primo) ya que conocemos los métodos (algoritmos) para hacerlo. Sólo es cuestión de tiempo.
  • Cuando aumenta el tamaño del número uno de los problemas (dividir) sigue estando muy a tiro pero el otro (comprobar si un número es primo) enseguida se nos escapa de las manos a poco grande que sea el número.

Ya podemos entender lo que es P y lo que es NP.

En matemáticas los problemas P son aquellos para los que conocemos un algoritmo que se puede hacer en un tiempo razonable incluso para números grandes, mientras que los problemas NP son aquellos para los que conocemos un algoritmo, pero el tiempo que nos costaría aplicarlo es exagerado en cuanto el número aumenta un poco.

Notas finales:

P significa tiempo polinomial y NP tiempo no polinomial (aunque podría, -¡no es una amenaza!- no os voy a explicar ahora de dónde viene el nombre; cuando en 4º de ESO os presenten las funciones exponenciales le preguntáis a vuestro profesor por esto).

Os podéis imaginar que hoy en día los algoritmos no se hacen a mano sino con máquinas. Evidentemente los ordenadores son rapidísimos pero la idea no cambia: los problemas P son aquellos que un ordenador hace “rápido” y los NP aquellos para los cuales tardaría años (o décadas o siglos o...) en resolver, por mucho que mejoren los ordenadores.

Lo que acabo de decir no es del todo cierto. Os lo cuento... ¡en la última entrega! (Hay un término inglés para esto de cortar en un momento emocionante: cliffhanger).

Continuará...

martes, 15 de enero de 2019

1º de ESO: examen de problemas

En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:



Resolver problemas es una de las grandes aplicaciones de las matemáticas. Exagerando un poquito podemos decir que todas las demás Ciencias -Física, Química, Economía...- o actividades como la Ingeniería o la Informática, consisten en resolver problemas o elaborar teorías utilizando las matemáticas.

A algunos esta parte se os hace dura, sobre todo porque sois muy miedicas y, ante un problema, en vez de tomároslo como un reto (¡sin miedo a fallar!), os acojonáis y os bloqueáis. ¿Solución? Pues eso, plantearos un problema como un desafío y, si sale, bien, y si no, también bien, ¡y a seguir intentándolo!

A los que os haya sabido a poco, aquí tenéis un par de problemas más. ¡A ver qué tal se os dan! (son dificilillos, el segundo más que el primero).

Problema 1: Una vaca se tira de cabeza a una piscina con forma de ortoedro de 15 metros de largo y 12 de ancho:
Esto es un ortoedro


Y esta es la vaca

¿Cuál es el volumen (en litros) de la vaca si el nivel del agua de la piscina sube 13 milímetros cuando la vaca bucea? (Son 13 milímetros con respecto al nivel inicial de la piscina, antes de que se tirase la vaca).


Problema 2: En una una piscina con forma de ortoedro de 15 metros de largo y 12 de ancho lanzamos otro ortoedro de hierro de 6 metros de largo, 4 metros de ancho y 15 centímetros de alto. ¿Cuánto sube el nivel del agua? (De nuevo con respecto al nivel inicial de la piscina; se supone que el ortoedro de hierro se sumerge completamente en el agua).