Siempre, pero especialmente en esta ocasión, más allá de si os ha salido bien o mal, de si os ha parecido fácil o difícil, quiero que utilicéis los exámenes para repasar, estudiar y mejorar. Haced el control en casa este fin de semana, después intentad entender lo que no os haya salido consultando la solución y, lo que aun así se os resista, me lo preguntáis a mí.
jueves, 27 de septiembre de 2018
2º de ESO: control de divisibilidad
En los siguientes enlaces os cuelgo el control y la solución:
Siempre, pero especialmente en esta ocasión, más allá de si os ha salido bien o mal, de si os ha parecido fácil o difícil, quiero que utilicéis los exámenes para repasar, estudiar y mejorar. Haced el control en casa este fin de semana, después intentad entender lo que no os haya salido consultando la solución y, lo que aun así se os resista, me lo preguntáis a mí.
Siempre, pero especialmente en esta ocasión, más allá de si os ha salido bien o mal, de si os ha parecido fácil o difícil, quiero que utilicéis los exámenes para repasar, estudiar y mejorar. Haced el control en casa este fin de semana, después intentad entender lo que no os haya salido consultando la solución y, lo que aun así se os resista, me lo preguntáis a mí.
miércoles, 26 de septiembre de 2018
1º de ESO: examen de números naturales
En los siguientes enlaces os cuelgo el examen y la solución:
Esto os lo voy a repetir a modo de mantra: es importante que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.
Esto os lo voy a repetir a modo de mantra: es importante que descarguéis el examen, lo hagáis y consultéis después la solución.
viernes, 21 de septiembre de 2018
Criptografía
La criptografía consiste en codificar un mensaje de forma que, aunque llegue a manos indebidas, éste no pueda ser descifrado. Teniendo en cuenta la gran cantidad de información que intercambiamos hoy en día, sobre todo a través de Internet, es un tema muy importante, y un campo en el que trabajan muchos de los mejores matemáticos del mundo.
Pero este asunto ha interesado al ser humano desde hace mucho tiempo. Julio César codificaba los mensajes de sus ejércitos con, se llama así por eso, el cifrado de César, que consiste en trasladar el alfabeto un número de lugares a la derecha. Veamos un ejemplo para entenderlo: la siguiente tabla muestra el alfabeto trasladado 2 lugares hacia la derecha:
y así, si queremos enviarle a alguien el mensaje "secreto" (no ponemos espacios en blanco)
y cuando llegase al destinatario, él lo descodificaría (se supone, claro, que conoce las reglas).
La verdad es que Julio César tuvo mucha suerte de que sus enemigos no tuviesen ni idea de matemáticas (por algo se les llamaba bárbaros), porque su método es muy fácil de romper (romper es la palabra que se usa para decir que las reglas de un método han sido descubiertas y ya no es seguro utilizarlo). Por cierto, hay una película, basada en hechos reales, en la que se cuenta cómo los ingleses lograron romper Enigma, la máquina que los nazis utilizaban para codificar sus mensajes durante la II Guerra Mundial.
Vamos a ver si vosotros sabéis más matemáticas que los bárbaros que vivían al norte del Imperio Romano. Os propongo un reto (entre todos los que contestéis correctamente en los comentarios del blog -pulsa aquí para ver cómo enviar la respuesta- sortearemos un libro).
Reto: he utilizado el método de César para codificar un mensaje y me ha quedado
Indicación: he trasladado el alfabeto a la derecha un número de posiciones igual a la suma de todas las cifras del menor de los dos números primos en los que se descompone 41989.
(Pista: buscad una lista de números primos en Internet y ¡probad con cercanos a la raíz cuadrada!).
Comentarios finales:
1) Un método que mejora un poco el de César consiste en reordenar el alfabeto como nos de la gana. Por ejemplo:
Este método tampoco es muy seguro, y una forma básica de intentar romperlo es estudiar cuántas veces aparece cada una de las letras en el mensaje y compararlas con las veces que aparece cada letra en el idioma en el que se cree que está escrito el original. Por ejemplo, en español se sabe que la letra que más aparece es la E, luego la A, etc, con los siguientes porcentajes aproximados (Fuente: Wikipedia):
2) Descomponer 41989 en sus factores primos os va a costar muy poco jugando con la calculadora (aprovechando la pista de la raíz cuadrada), pero hacer lo mismo a ciegas con un número grande es una tarea muy larga y pesada (hay que ir probando números hasta encontrarlos: utilizando los ordenadores actuales más potentes, la tarea podría durar siglos). Es por eso que los números primos son la base matemática de métodos seguros (¡de momento!) para codificar mensajes.
3) Cuando publique la solución del reto y los ganadores (tenéis hasta el próximo domingo 30) os colgaré un programita para codificar y descodificar mensajes.
Pero este asunto ha interesado al ser humano desde hace mucho tiempo. Julio César codificaba los mensajes de sus ejércitos con, se llama así por eso, el cifrado de César, que consiste en trasladar el alfabeto un número de lugares a la derecha. Veamos un ejemplo para entenderlo: la siguiente tabla muestra el alfabeto trasladado 2 lugares hacia la derecha:
HOLACOMOESTAS
escribiríamos
FNJYANKNCQRYQ
y cuando llegase al destinatario, él lo descodificaría (se supone, claro, que conoce las reglas).
La verdad es que Julio César tuvo mucha suerte de que sus enemigos no tuviesen ni idea de matemáticas (por algo se les llamaba bárbaros), porque su método es muy fácil de romper (romper es la palabra que se usa para decir que las reglas de un método han sido descubiertas y ya no es seguro utilizarlo). Por cierto, hay una película, basada en hechos reales, en la que se cuenta cómo los ingleses lograron romper Enigma, la máquina que los nazis utilizaban para codificar sus mensajes durante la II Guerra Mundial.
Vamos a ver si vosotros sabéis más matemáticas que los bárbaros que vivían al norte del Imperio Romano. Os propongo un reto (entre todos los que contestéis correctamente en los comentarios del blog -pulsa aquí para ver cómo enviar la respuesta- sortearemos un libro).
Reto: he utilizado el método de César para codificar un mensaje y me ha quedado
MABIUSWKWAMABWAZWTIUWA
¿Qué dice el mensaje original?
(Pista: buscad una lista de números primos en Internet y ¡probad con cercanos a la raíz cuadrada!).
Comentarios finales:
1) Un método que mejora un poco el de César consiste en reordenar el alfabeto como nos de la gana. Por ejemplo:
Este método tampoco es muy seguro, y una forma básica de intentar romperlo es estudiar cuántas veces aparece cada una de las letras en el mensaje y compararlas con las veces que aparece cada letra en el idioma en el que se cree que está escrito el original. Por ejemplo, en español se sabe que la letra que más aparece es la E, luego la A, etc, con los siguientes porcentajes aproximados (Fuente: Wikipedia):
2) Descomponer 41989 en sus factores primos os va a costar muy poco jugando con la calculadora (aprovechando la pista de la raíz cuadrada), pero hacer lo mismo a ciegas con un número grande es una tarea muy larga y pesada (hay que ir probando números hasta encontrarlos: utilizando los ordenadores actuales más potentes, la tarea podría durar siglos). Es por eso que los números primos son la base matemática de métodos seguros (¡de momento!) para codificar mensajes.
3) Cuando publique la solución del reto y los ganadores (tenéis hasta el próximo domingo 30) os colgaré un programita para codificar y descodificar mensajes.
domingo, 9 de septiembre de 2018
Sistemas de numeración
En la imagen estáis viendo el hueso de Lebombo, un fémur de baduino que, según la hipótesis más aceptada, alguna “mujer de las cavernas” utilizó hace más de 40000 años para hacer unas marcas, veintinueve, y medir su ciclo menstrual. Es la primera prueba que se ha encontrado de la presencia de los números en la Historia de la Humanidad.
A lo largo de los milenios el ser humano fue empleando otros sistemas de numeración. Vamos a ver algunos y, en honor a la “primera matemática de la historia”, representaremos con ellos la duración del ciclo menstrual:
Sistema de numeración cavernícola: una marca por cada día:
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Sistema egipcio: como el anterior, pero con la sutileza de agrupar las potencias de diez.
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| ¡Para los egipcios un millón venía a ser como infinito! |
Así, nuestro número quedaría:
Sistema romano: un sistema en el que algunas letras indican cantidad,
pero donde la posición sí que importa:
Y escribiríamos:
XXIX
Nota: como indican en la imagen anterior, cuando los romanos querían escribir números muy grandes, ponían líneas sobre las letras: una indica multiplicado por mil, dos por un millón... seguro que os estáis preguntando cómo escribían un billón y un trillón (en realidad los romanos no necesitaban para nada números tan grandes... e infinito ni se lo imaginaban). ¡Ejemplos por favor!
 |
| Cada línea son tres ceros adicionales. |
Sistema decimal: originario de la India y traído a Europa por los árabes. Es el que utilizamos en la actualidad y que, como hemos visto en clase, se basa en la descomposición polinómica en potencias de 10... vamos, lo que viene a ser:
29 = 2.10+9
Vamos a convencernos de que hemos tenido mucha suerte al haber nacido en una época en la que se utiliza un sistema de numeración muy “cómodo”, y que los profesores y estudiantes de matemáticas del pasado lo tenían mucho más difícil que nosotros. ¿Sabríais escribir el número 19765979 utilizando los sistemas egipcio y romano? (por supuesto, es muy fácil con el sistema cavernícola... pero ese mejor lo dejamos).
viernes, 7 de septiembre de 2018
Comenzamos
¡Bienvenidos polluelos matemáticos!
La de la foto de la cabecera es Maryam Mirzajani, la primera mujer que ganó la Medalla Fields (el "Premio Nobel" de las matemáticas). Me parece muy triste que los héroes de la sociedad en la que vivimos sean tipos "en calzoncillos" que dan patadas a un balón y demás fauna de individuos que no destacan ni por su inteligencia, ni por su creatividad, ni por su valía humana, sino más bien por la ausencia de todas ellas.
Maryam murió por culpa de un cáncer hace poco más de un año. El siguiente vídeo es cortito. Vedlo entero:
Exámenes del curso 2017/2018
1º de ESO
2º de ESO
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