viernes, 28 de diciembre de 2018

Pi (Segunda parte)

¿Cuántas cifras decimales tiene p? Aunque se intuía desde el principio, hubo que esperar al siglo XVIII para demostrar que es un número irracional. Tiene pues infinitos decimales, no se repiten de forma periódica y, en este caso, no siguen ningún patrón: si queremos conocerlos no nos queda otra que calcularlos.

¿Sirve para algo calcular muchos decimales de pAbsolutamente para nada. A cualquier ingeniero o científico que trabaje en el mundo real le vale con saber unos pocos. (Hay una cuentecita que tenemos a tiro -no la quiero hacer ahora- para ver que con unos pocos decimales -me suena que son 39- podríamos calcular el tamaño de todo el Universo conocido con una precisión de un átomo de hidrógeno).

¿Para qué se calculan entonces? Como os dije cuando hablamos de raiz de 2, se trata de una especie de competición deportiva, al principio entre matemáticos, a la que en los últimos años se han unido informáticos con sus superordenadores. No todo es tan inútil como parece: algunas herramientas estudiadas para calcular las cifras decimales de p han tenido importantes aplicaciones prácticas.

¿Cómo se calculan los decimales de p? Como vimos en la anterior entrada del reto de Pi, la primera técnica empleada fue la de aproximar el área de la circunferencia de radio 1 con polígonos regulares tal y como había hecho Arquímedes.

En el siglo XVII se produjo en el mundo un gran desarrollo matemático (que permitió a su vez el progreso científico y económico de la época). Una de las cosas que más se estudiaron entonces fueron las sumas infinitas como la que vimos el otro día: os recuerdo que son sumas de números de manera que cuantos más sumamos más nos vamos acercando a un valor (a la suma). Por ejemplo:


Pues p apareció (a veces por sorpresa) como resultado de muchas de esas sumas infinitas. Un ejemplo es el que os puse en la Primera prueba de la camiseta (el famoso Problema de Basilea, resuelto por el gran Leonard Euler),


otro es la suma de Leibniz:


¿Cómo podemos aprovechar la anterior suma infinita para conseguir cifras decimales de p? Muy sencillo: cuantos más números sumemos más nos acercaremos a su verdadero valor. Vamos a ello:

y ya todo es cuestión de tener mucha paciencia... y mucho tiempo libre, porque haría falta sumar no cinco, sino cinco millones de números de la suma de Leibniz para conseguir seis cifras decimales exactas (3'141592) de p.

Tercera prueba del reto de la camiseta.  Utiliza la siguiente suma infinita:


para conseguir cinco aproximaciones de p (empieza sólo con el 3 y ve sumando un término más cada vez como acabamos de hacer arriba) y compara los resultados obtenidos con los proporcionados por la suma de Leibniz. (¡Naturalmente podéis utilizar la calculadora!). ¿Cuál es la conclusión de la comparación?

jueves, 27 de diciembre de 2018

Pi (Primera parte)

¿Sabéis qué tenéis que hacer si alguna vez os encontráis con un extraterrestre y no sabéis de qué hablar, porque no entendéis su idioma y porque no tenéis ni idea de cuáles son los temas de conversación típicos de su planeta? Tenéis que decirle:

(bip, bip), (bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip), (bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip, bip)...

Cuando agotéis ese tema de conversación (al llegar a los 13 bips ya deberíais tener claro, el extraterrestre y vosotros, que estáis hablando de los números primos), podéis hacer el siguiente dibujo:

que refleja que cuando una rueda gira una vuelta completa recorre una distancia tres veces y "un poquito más" su diámetro, y podéis enseñarle a vuestro nuevo amigo el símbolo que nosotros utilizamos para referirnos a ese número que también aparece como el área de una circunferencia de radio 1,
y seguramente, en ese mismo instante él os enseñará el símbolo que utilicen en su planeta para referirse a uno de los objetos más fascinantes del Universo, el número p. ¡Las matemáticas son el lenguaje del Universo!

Nota: Esta introducción me ha salido un poco marciana porque últimamente estoy leyendo libros de ciencia ficción que van de este asunto.



nos acompaña a los seres humanos prácticamente desde que descubrimos la rueda y en cuanto empezamos a desarrollar las matemáticas intentamos calcularlo con exactitud. Uno de los métodos más simples y elegantes fue el utilizado por Arquímedes. Su idea consistió en aproximar el valor del área de una circunferencia de radio 1 (es decir, p), inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares (que son aquellos que tienen todos sus lados iguales). Por ejemplo, podemos empezar con el cuadrado:


Fijaos que el valor de p estará entre lo que valgan las áreas del cuadrado inscrito (que será menor) y el circunscrito (que será mayor). De hecho, esta es la segunda prueba:

Segunda prueba del reto de la camiseta. Calcula las áreas de los anteriores cuadrados (inscrito y circunscrito) para decir entre qué dos valores está p. Tenéis que contestar, únicamente la solución, en los comentarios de esta entrada y, luego en clase, enseñarme en papel las correspondientes explicaciones. Al final de la entrada os doy una pista.

Seguimos: naturalmente, cuantos más lados tenga el polígono que utilicemos, más se "pegará" a la circunferencia, y mejor será la aproximación que consigamos:

Pentágono, hexágono y octógono.

Arquímedes (III a. C.) llegó a hacer los cálculos para un polígono con ¡96 lados! y consiguió la siguiente aproximación:
que si pasáis a decimales veréis que proporciona 3'14, es decir, de forma exacta las dos primeras cifras de p.

Terminamos en modo preguntas y respuestas:

¿Por qué se utilizan polígonos regulares? Porque a ellos es "fácil" calcularles el área.

¿Por qué Arquímedes paró con 96 lados? En realidad empezó con 6 lados y fue duplicando cada vez: 12, 24, 48 y 96. Seguramente llegaría a intentarlo con 192 lados pero, o le aburrió el tema, o se murió antes de conseguir acabar las cuentas, que eran cada vez más pesadas.

¿Alguien continuó utilizando el método de Arquímedes? Sí, hasta que se descubrieron otros mejores. Algunos siglos después, hacia el año 250 d. C., el matemático chino Liu Hui aproximó las cinco primeras cifras (3'14159) con un polígono de 3072 lados; ya en el siglo XVII Vieta hizo las cuentas para polígonos con 393216 lados y llegó a las nueve cifras de precisión (3'141592653, más o menos lo que aparece en nuestras calculadoras cuando les pedimos p); y el record lo consiguió Ludolph van Ceulen, un alemán que dedicó gran parte de su vida a calcular:

 3'14159265358979323846264338327950288

¡Con razón pidió que grabasen sobre su tumba esas 35 cifras decimales!

¿Cuáles son los métodos mejores que el de Arquímedes? Próximamente en vuestro blog matemático favorito.

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Pista para la prueba: en la 3ª evaluación estudiaremos el teorema de Pitágoras, que relaciona las longitudes de los tres lados en un triángulo rectángulo (los lados se llaman: catetos, que son los dos que forman el ángulo de 90º, e hipotenusa, que es el lado opuesto a dicho ángulo).

En concreto, el teorema de Pitágoras dice que (es habitual escribirlo de cualquiera de las dos formas siguientes):
por ejemplo:

Pues es el teorema de Pitágoras el que os va a ayudar a obtener la longitud del lado (y con ello el área) del cuadrado inscrito. Este problema lo haremos en clase en la 3ª evaluación: a ver si sois capaces de sacarlo ahora por vuestra cuenta. ¡Suerte!

miércoles, 26 de diciembre de 2018

Sumemos infinitos números

¡Álex, deja un ratito la Play que comienza el Reto de la camiseta! Esta entrada es auxiliar para lo que vendrá después. Os voy a presentar un concepto que se estudia en la universidad. ¡Concentraos!

Todos sabéis sumar números enteros (2+3=5), decimales (2'23+3'9=6'13), y muy pronto hasta los de 1º sabréis sumar fracciones:


¡Uy, perdón, vuestro profesor es un cutre! (Lo elegante es usar el mínimo común múltiplo).


¿Creéis que ya sabéis sumarlo todo? Queridos míos, si algo bueno tienen las matemáticas es que NUNCA JAMÁS, NADIE lo sabrá TODO.

Os voy a hacer una pregunta, ¿podemos sumar infinitos números? No, por favor, no me pongáis esa cara:

¿Cuántos números dices que hay que sumar?

Es posible que ahora estéis pensando, "¿sumar infinitos números? ¿eso dará infinito, no?". Veamos un ejemplo:



Pues hombre, aunque nos siga pareciendo un poco raro eso de sumar infinitos números, algo dentro de nuestra cabecita nos dice que si nos ponemos a sumar unos "y no paramos nunca", la suma total es infinito. Vale. Otro ejemplo:


Vamos a pasarlo a decimales para situarnos:


Hummmmm, ¿qué está pasando aquí? La idea es que tenemos una "pelea" entre dos conceptos infinitos: el que la cantidad de números que queremos sumar es infinita, y que cada vez vamos a ir sumando números que se van haciendo "infinitamente más pequeños". En estas situaciones, dependiendo de "cuál de los dos infinitos gane la pelea", puede ocurrir que la suma dé infinito... ¡o dé un número!

¿No me creéis? Coged un folio. (¡Hacedlo de verdad!). Partidlo por la mitad. Dejad una mitad (1/2 de folio) a la derecha y quedaos con la otra mitad. Partid esa mitad por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/4 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/8 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/16 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. Partid el trozo con el que os habéis quedado por la mitad. Dejad uno de los trozos (1/32 de folio) a la derecha y quedaos con el otro. (...)

Si no parásemos "nunca", ¿qué acabaríamos teniendo en el montoncito de la derecha? ¡Un folio completo! (hecho infinitos trocitos eso sí). Es decir:


Dicen que una imagen vale más que mil palabras:

Imagen: http://en.citizendium.org/wiki/File:Geometric_series.png

Os toca:

Primera prueba del reto de la camiseta.

1) Coge una calculadora.

2) Haz la siguiente suma de 15 números.
3) Multiplica el resultado por 6.

4) Y por último, haz la raíz cuadrada del resultado del paso anterior. ¿Resultado?

En el futuro os comentaré qué sale si hacéis lo anterior sin parar en el 15, siguiendo hasta el infinito... ¿alguna idea? ¿algún numerillo famoso de las matemáticas?

Hasta el infinito...y más allá.

martes, 25 de diciembre de 2018

¡Feliz Navidad!

Naturalmente, voy a aprovechar para contaros una historia.

Los seres humanos se fijaron en tres fenómenos cíclicos (que se repiten) a la hora de intentar medir el tiempo: la salida y puesta del Sol (día), las fases de la luna, cuyo ciclo dura unos 29 días y medio (que parece una buena definición de mes), y la posición de la Tierra respecto al Sol (unos 365 días, cuyo ciclo es un inmejorable candidato para ser un año). Pero había un problema: los meses lunares y el año solar no cuadran bien. O nos quedamos cortos o nos pasamos:
  • 29'5 x 12 meses = 354 días
  • 29'5 x 13 meses = 383'5 días
Hubo muchos intentos de ajuste ya que era un asunto muy importante: ¿os imagináis que cada año los meses se fuesen moviendo y que, si en 2019 enero fuera invierno, dentro de unos años cayese en pleno verano? Sería un lío (e imaginaros para los agricultores).


La solución fue olvidarse de la luna (por eso los meses no tienen todos el mismo número de días) e intentar ajustarse al Sol. Por entonces se sabía que a la Tierra le cuesta dar una vuelta al Sol unos 365'25 días. La solución parecía fácil: fue el emperador Julio César el que implantó el año de 365 días con uno de 366 cada cuatro. Es lo que se conoce como Calendario Juliano.

Pero lo de 365'25 era sólo una aproximación: en realidad a la Tierra le cuesta dar una vuelta al Sol unos 365'242189 días y claro, el error se fue acumulando, de forma que alguien se puso a hacer cálculos y se dieron cuenta de que cada 1000 años se producía un desfase de casi 8 días. Efectivamente:
  • Cada año se acumulaba un desfase de 365'25 - 365'242189 = 0'007811 días.
  • 0'007811 días x 1000 años = 7'811 días en total.
Para corregir ese error y para evitar que se produjera en el futuro, el papa Gregorio XIII instauró el Calendario Gregoriano que usamos en la actualidad: la regla es que son bisiestos los años cuyas dos últimas cifras son divisibles por 4, exceptuando los múltiplos de 100 (1700, 1800, 1900..., que no serán bisiestos), de los que se exceptúan a su vez aquellos que también sean divisibles por 400 (1600, 2000, 2400..., que sí serán bisiestos).

¿Problema resuelto? No, porque sigue habiendo un desajuste y, para corregirlo, cada 3000 años aproximadamente hay que hacer "normal", de 365 días, a un año al que le toque ser bisiesto.

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¿Sabéis por qué os he contado toda esta historia? Para poder haceros una pregunta: ¿quién nació en el día de Navidad de 1642 según el calendario Juliano que era el que utilizaban en Inglaterra en aquella época? Sí, un hombre que es Dios, el Dios de la Ciencia:

Isaac Newton

¡FELIZ NAVIDAD Y PRÓSPERO 2019!

Y os será más próspero cuantos más problemas, unos, 
y polinomios, otros, me estéis resolviendo.

viernes, 21 de diciembre de 2018

Llegan los regalos: deberes navideños de 1º y 2º de ESO

Antes que el sorteo de la lotería, antes que Santa Claus, antes que los Reyes Magos... vuestro profesor de matemáticas:

1º DE ESO

Quiero que os peleéis vosotros solos (sin ayuda, estos son VUESTROS) con los problemas de los tres exámenes (los dos últimos os los di en clase en una fotocopia; os los enlazo aquí):

2015/2016Solución
2016/2017Solución
2017/2018Solución

¿Cuál es la idea? Algunos consejos:
  • Dedicad todos los días un ratito a intentar un par de problemas. 
  • El que os salga, perfecto, el que no, lo dejáis que se quede en vuestra cabeza y lo volvéis a intentar al día siguiente.
  • No quiero que os quitéis los problemas de encima: cuando lo resolváis estad pensando un rato en él, verbalizando los pasos que habéis dado.
  • Tres problemas por cara, con dibujos y explicaciones paso a paso.
  • No miréis las soluciones justo después de haber resuelto el problema. Esperad al día siguiente.
Resolver problemas es uno de los grandes objetivos de las matemáticas y es importante que perdáis los miedos que a veces os bloquean. Leed esto por favor:


¡A por ello, salimos a cazar jabalíes... digo, problemas!


2º DE ESO

Os cuelgo el controlillo que hicimos ayer jueves y un par de exámenes similares al que vamos a hacer a la vuelta. Machacadlos. Esto del álgebra se parece mucho a aprender un idioma: se estudia la gramática básica y luego se pone uno a hablar. Al principio cuesta un poco pero enseguida se notan los progresos. ¡Ánimo!

ControlilloSolución
2016/2017Solución
2017/2018Solución

Nota: de los dos exámenes no hagáis los ejercicios 6 (son de lo que nos falta por ver: simplificación).

lunes, 17 de diciembre de 2018

1º de ESO: examen de operaciones con decimales

Os enlazo los exámenes de los dos cursos anteriores para que practiquéis:

2016/2017Solución
2017/2018Solución

Aquí tenéis la solución del controlillo de entrenamiento del miércoles:


Y aquí os enlazo el examen del jueves:


Solución

Aunque vuestra habilidad haciendo cuentas con decimales no es algo que me preocupe especialmente, sí quiero que os curréis las operaciones combinadas, para ir desarrollando buenos hábitos de cara al futuro, cuando trabajemos con fracciones o con expresiones algebraicas.

Resultado del Reto de las calculadoras

Haremos el sorteo en el recreo del martes (en el aula de 2º B; al final os explico el procedimiento que usaremos). Vayamos por partes:


LAS SOLUCIONES
  • Reto de la Conjetura de Golbach: descomponer los números pares entre 16 y 30 como suma de dos números primos. Con cuidado para no dejarnos ninguna combinación:
16 = 3+13 = 5+11
18 = 5+13 = 7+11
20 = 3+17 = 7+13
22 = 3+19 = 5+17 = 11+11
24 = 5+19 = 7+17 = 11+13
26 = 3+23 = 7+19 = 13+13
28 = 5+23 = 11+17
30 = 7+23 = 11+19 = 13+17
  • Reto de Gauss: nos piden que sumemos:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 133 + 134 + 135 +136

y como ya le hemos pillado la idea al truquito, lo hacemos directamente: es la mitad de sumar 136 veces 137, es decir:

Vamos a atrevernos con una fórmula general:

  • Reto del equipo de fútbol. Os recuerdo cuál era el reto: empezando nosotros, eligiendo por turnos, siempre un jugador en uno de los dos extremos (derecho o izquierdo; el elegido se aparta), tenemos que intentar seleccionar a cuatro jugadores mejores (que marquen más goles) que los del equipo rival. Bien, pues os propongo que lo intentéis en dos situaciones (recordad que el número de la camiseta indica los goles que ha marcado cada jugador). Elegís los primeros, ¿cómo ganáis seguro?

    SITUACIÓN 1

    SITUACIÓN 2

    ¿Os ha dado esta pista la inspiración necesaria para encontrar la solución? ¿Ya veis qué tenéis que hacer para ganar siempre?

    Tanto si os dais por vencidos como si habéis triunfado y queréis ver este mismo reto contado con más gracia, haced clic en el siguiente enlace:


  • Reto extra: aquel año el entrenador (Miguel, alias Menotti), nos dejaba turnarnos para llevar el brazalete de capitán. Me tocó dos veces en todo el año y simplemente tuve la suerte de que una de ellas fue el día que nos sacamos la foto. Un amigo me dijo, "vas a pasar a la posteridad como el capitán". ¡Efectivamente!

EL SORTEO

¡Muchas gracias por vuestro esfuerzo chicos!


Y ahora vamos a empaparnos con un poco de probabilidad (al final del curso nos tocará nadar en ella) pensando en cómo hacer el sorteo de las tres calculadoras.


Decimos que estamos ante una situación aleatoria cuando:

1) No sabemos exactamente lo que va a pasar.

2) Sí conocemos cuáles son las opciones.

3) Podemos medir cuántas son las posibilidades de cada una de las opciones (es lo que se conoce como probabilidad).

¿Un ejemplo? Vamos a imaginar que nos disponemos a sortear una única calculadora (explicarlo para tres es un poquito más difícil):

1) No sabemos exactamente quién se la va a llevar.

2) Sabemos que la ganará Miguel, Álex, Adrián, Natalia, Candela o Ane.

3) Miguel tiene 41 puntos, Álex 11, Adrián, Natalia, Candela y Ane 10 (la suma total es 92). Entonces las probabilidades de ganar de cada uno son (redondeo con dos decimales):

Probabilidad(gane Miguel)= 41/92 = 0'45 (Miguel tiene aproximadamente un 45% de posibilidades de ganar).

Probabilidad(gane Álex)= 50/185 = 0'12 (Álex tiene aproximadamente un 12% de posibilidades de ganar).

Probabilidad(gane Adrián)= Probabilidad(gane Natalia)= Probabilidad(gane Candela)= Probabilidad(gane Ane)= 10/92 = 0'11 (cada uno tiene aproximadamente un 11% de posibilidades de ganar).

(Fijaos que, redondeos aparte, las probabilidades de todos suman 1 o, lo que es lo mismo, que los porcentajes suman el 100%).

En realidad, como vamos a sortear tres calculadoras (y sólo se puede ganar una), la cosa es bastante más difícil de explicar (Miguel 83%, Álex 32%, Adrián, Natalia, Candela y Ane, 29%), pero pensar en cómo hacer el sorteo no lo es tanto:

OPCIÓN 1. Meter 92 papelitos en una bolsa con un nombre escrito, 41 Miguel, 11 Álex y, 10 de cada, Adrián, Natalia, Candela y Ane. Una mano inocente va sacando papelitos hasta que hay tres ganadores (si alguno sale más de una vez, no cuenta).

OPCIÓN 2. Hacer algo parecido aprovechando la tecla Ran# de la calculadora, que nos da, aleatoriamente, cada vez que la pulsamos, un número decimal de tres cifras entre el 0'000 y el 0'999 (ambos incluidos). Una opción cómoda es asignar 10 números por cada punto. Por ejemplo:

- Ane: le corresponden 100 números, del 0'001 al 0'100.

- Candela: 100 números, del 0'101 al 0'200.

- Natalia: 100 números, del 0'201 al 0'300.

- Adrián: 100 números, del 0'301 al 0'400.

- Álex: 110 números, del 0'401 al 0'510.

- Miguel: 410 números, del 0'511 al 0'920.

Si sale cualquier otro número (0'000 o uno mayor que 0'920) la "tirada"no cuenta, lo mismo que si sale algún número correspondiente a una persona que ya haya ganado una de las calculadoras en las tiradas anteriores.

Una última cosa: ¿qué tiene la calculadora dentro, enanitos lanzando dados? ¿Cómo hace para conseguir un número aleatorio? Es un asunto delicado del que sólo os voy a decir una cosa: ¿sabéis qué parte de las matemáticas es la que se utiliza para conseguir números aleatorios? No, no es ni la estadística ni la probabilidad... ¡es el álgebra!

jueves, 13 de diciembre de 2018

Mi primer día como profesor

Una explicación previa.

Están un matemático, un físico y un ingeniero a los que se les pide que calculen el volumen de una canica de un centímetro de radio.

El matemático, el crack, el Dios absoluto, no es que sepa calcularlo, es que es capaz de hacer una demostración que lleva a la fórmula para calcular el volumen de cualquier esfera de radio R (esta cuenta se hace en la universidad, y alguna cosita parecida, pero más sencilla, en bachillerato; ¿a que los símbolos son bonitos?):


El físico propondría hacerlo con un experimento. Echamos agua en una probeta en la que posteriormente sumergimos la canica: entonces el volumen de la canica es exactamente lo que ha subido el nivel del agua de la probeta:


¿Qué haría el ingeniero? "Aprovecharse" del trabajo del matemático y limitarse a hacer la cuenta con una calculadora (¿sabéis hacerla vosotros?). Y diría que el volumen de la canica es:

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La primera vez en mi vida que me disponía a dar una clase (los alumnos eran futuros ingenieros) se me ocurrió empezar "haciéndome el gracioso", contando un chiste que a mí me había hecho reírme a carcajadas. Aunque en el chiste el matemático y el físico también son ridiculizados, la vacilada más fuerte es para el ingeniero. ¿Cuál es la idea? Es habitual burlarse de los ingenieros porque aplican las matemáticas haciendo aproximaciones a lo bestia, o sin preocuparse por comprobar que se cumplen las condiciones que permiten aplicar una determinada fórmula (naturalmente es una exageración... aunque hay algo de verdad).

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Entré en clase todo serio (ellos también lo estaban porque para la mayoría era su primer instante en la universidad) y sin dar siquiera los buenos días dibujé en la pizarra algo parecido a esto:

Creo que me ha salido bastante mejor que entonces

Me di la vuelta y conté el chiste (añado ahora algún comentario explicativo entre paréntesis):

Están un matemático, un físico y un ingeniero a los que se les pide que calculen el volumen de una vaca.

El matemático dice: bah, trivial, basta con hacer una integral. (Lo que teóricamente es cierto, y es fácil de hacer, como hemos hecho arriba, para una esfera, pero es inútil en el mundo real para calcular el volumen de una vaca).

El físico dice: bah, fácil, metemos la vaca en una probeta con agua y lo que sube el nivel es el volumen de la vaca. (Más que probeta tendría que ser en una piscina. Ayyy, los físicos y sus experimentos, menuda cornada les iba a dar la vaca si intentaran meterla en una piscina).

Y va el ingeniero y dice: está tirado. Suponemos que la vaca es esférica y aplicamos la fórmula: el volumen es cuatro tercios de pi por el radio al cubo.

¿Vaca esférica? ¿Radio de una vaca?

De hecho, este chiste se conoce como "el de la vaca esférica".

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Los alumnos me miraron todos muy serios... y ese fue el final de mi carrera como profesor-humorista. Creo que he tenido algunas pesadillas relacionadas con dicho momento. ¡Nunca más!

martes, 11 de diciembre de 2018

El mundillo matemático (III): la gloria

La Medalla Fields

¿Con qué sueña un matemático (aparte de con daros clase a vosotros)? ¿Cómo se gana la inmortalidad? Esencialmente siendo el primero "en cazar una gran presa", en resolver alguno de los grandes problemas de las matemáticas.

¿Cuáles son esos problemas? En el Congreso de París del año 1900 David Hilbert, el matemático más destacado de la época, propuso su famosa lista con los 23 problemas que se consideraron los más importantes del siglo XX.


En el año 2000, la Unión Matemática Internacional, que aglutina las Academias de Matemáticas de aquellos países que tienen Academia de Matemáticas, hizo una "repetición de la jugada" creando la


y el  Clay Mathematics Institute (una organización fundada por un millonario aficionado a las matemáticas) ofrece un millón de dólares a quien resuelva alguno de los


¿De qué van esos problemas? Voy a intentar contaros algo de uno que aparece en las dos listas, el ¿P=NP?, y para eso necesito que antes resolváis los siguientes cuatro problemas a mano.
Importante: para cada uno de ellos tenéis como mucho 5 minutos.

Problema 1: divide 23 entre 7.

Problema 2: comprueba si 23 es un número primo.

Problema 3: divide 2305843009213693951 entre 7.

Problema 4: comprueba si 2305843009213693951 es un número primo.

(Continuará).

jueves, 6 de diciembre de 2018

El mundillo matemático (II): los grandes

¿Quiénes son los más grandes matemáticos de la Historia? Voy a reducirlo mucho (son los que están pero no están muchos de los que son):


Euclides (s. III a. de C.): autor del libro "Elementos", una recopilación que fue "la biblia matemática" durante muchos siglos.

Newton (s. XVII): el Dios absoluto de la Ciencia. Su "Philosophiæ naturalis principia mathematica" es la obra científica más importante de la Historia: establece los cimientos de la Física y revoluciona las Matemáticas con el descubrimiento del Cálculo Infinitesimal (otro gran matemático, Leibniz, lo descubrió de forma independiente en la misma época y la polémica fue terrorífica).

Euler (s. XVIII): quedarse ciego no le impidió ser el matemático más prolífico de la historia. Trabajó en multitud de campos siendo pionero en muchos de ellos.

Gauss (s. XIX): conocido como el "Príncipe de las Matemáticas". ¿Os acordáis de él? ¿Cuánto vale 
1+2+3+4+5+...+997+998+999+1000?

¿Y un "poco" más modernos? ¿En los últimos tiempos? Vamos a dejarlo también en cuatro:


Andrew Wiles: demostró en 1993 el Último Teorema de Fermat, que había resistido más de tres siglos a los mejores matemáticos del mundo.

Terence Tao: un ex-niño prodigio ya en la cuarentena. Especialista en Teoría de números, resuelve como si nada problemas inaccesibles para el resto de los mortales. Si hacéis clic en la imagen podéis visitar su blog.


Grigori Perelman: muy famoso, por haber demostrado la Conjetura de Poincaré... y por ser un "bicho raro" que vive apartado y renunció a varios premios (y a sus correspondientes millones de dólares).

Maryam Mirzajani: espero que no necesite presentación en este blog. Primera mujer en ganar la Medalla Fields.


¿Y alguno de nuestra tierra? Desgraciadamente España no ha destacado en la historia de la Humanidad por el talento de sus científicos. Entre las honrosas excepciones se encuentra un paisano nuestro, el logroñés:

Julio Rey Pastor

martes, 4 de diciembre de 2018

Concurso en la biblioteca

Dentro de la campaña "Ven a la biblioteca; no te imaginas todo lo que te puedes encontrar..." se ha convocado un concurso.


Tenéis que responder a tres preguntas:

¿Qué libro te encantó?

¿Qué libro te gustaría leer?

¿Por qué lees?

En la biblioteca se encuentran los cuestionarios y la urna donde tenéis que introducirlos. Podéis participar durante los recreos y los profesores encargados os resolverán cualquier duda. El concurso finaliza el día 19 de este mes.


Y para animaros, me animo (y hago un viaje al pasado, a cuando tenía más o menos vuestra edad):

¿Qué libro te encantó? "Los tres mosqueteros". Creo que fue el primer libro en formato adulto que leí. Hasta entonces había devorado los clásicos juveniles de la editorial Bruguera ("Robinson Crusoe", "La isla del tesoro", los de Salgari y Verne, ...). Recuerdo que el personaje que más me gustó fue Athos, un ser atormentado por su historia de amor con Milady.

¿Qué libro te gustaría leer? Encantado con "Los tres mosqueteros" quise leer el otro gran clásico de Dumas, "El conde de Montecristo". Lo hice y, aunque me gustó mucho al principio, en el castillo de If con el abate Faría, se me acabó haciendo un poco pesado.

¿Por qué lees? Me sigue pasando pero de chico era exagerado: leía de forma obsesiva, y al entrar en el universo de un libro mi vida real dejaba de interesarme (incluso me molestaba). Pero también es el mismo acto de leer. Disfruto mucho estando encerrado en algún sitio en compañía de un buen libro, ¡me encanta!


Os toca: ¿Qué libro te encantó? ¿Qué libro te gustaría leer? ¿Por qué lees?

lunes, 3 de diciembre de 2018

El mundillo matemático (I)

Ya lo hemos hablado en clase: si en la antigüedad toda la ciencia (matemáticas, física, biología...) entraba dentro de la consideración de Filosofía (por ejemplo, todos los grandes matemáticos griegos eran filósofos), en la actualidad no existen las matemáticas sino: el álgebra, el análisis, la geometría, la topología, la teoría de números,... y eso es seguir siendo muy general: la mayoría de los matemáticos son especialistas en campos muy determinados, y sólo los muy buenos tienen capacidad para trabajar en varios a la vez.


¿Dónde y cómo trabajan los matemáticos? Desarrollan sus investigaciones en universidades, centros tecnológicos, agencias gubernamentales, empresas privadas... casi siempre de forma colaborativa, en equipo. La inmensa mayoría son personas muy "normalitas", que trabajan las horas que les toca y luego, en su vida normal, son indistinguibles de sus vecinos. ¿Por qué digo esto? Porque la idea que suele dar la literatura o el cine de los matemáticos, con el típico genio rarito, excéntrico, insociable e inadaptado, es la excepción (haberlos haylos), no la regla.

Exactamente, ¿cómo desarrollan su trabajo? Intentando resolver problemas, unos más importantes que otros, algunos con aplicaciones inmediatas (en física, química, ingeniería, economía...) y otros más abstractos. Cuando consiguen un resultado que creen importante suele ocurrir lo siguiente:
- lo envían a una revista especializada,
- el editor de la revista, si cree que tiene interés, se lo pasa a los llamados referees (árbitros), que son matemáticos especialistas en el campo sobre el que versa el trabajo,
- si los referees dan el visto bueno el editor publica el artículo. Si no, el artículo es devuelto sin publicar con indicaciones sobre sus errores o su poco valor. Lo más cruel que te pueden decir es:

Su artículo tiene ideas nuevas e interesantes, lo malo es que 
las nuevas no son interesantes y las interesantes no son nuevas.

- además, en congresos especializados, los matemáticos se reúnen y se ponen al día de los avances en sus investigaciones.

¿Premios, dinero? Eduardo os lo va a contar mejor:

jueves, 29 de noviembre de 2018

martes, 27 de noviembre de 2018

El reto final

Aquí viene el último reto para el Concurso de la calculadora. Bueno, el penúltimo, que al final de esta entrada hay un "extra". El plazo para contestar termina el próximo 16 de diciembre.

Os pongo en antecedentes:

La Teoría de juegos es una rama de las matemáticas que bajo su nombre recreativo tiene gran importancia en el mundo real, en economía, biología, psicología, informática, etc. Por ejemplo, el famoso matemático John Nash (el de la película Una mente maravillosa) ganó el Premio Nobel de economía por sus investigaciones en Teoría de juegos.

Uno de los problemas básicos de la Teoría de juegos es determinar si para un juego hay o no una estrategia ganadora, es decir, una manera de que uno de los jugadores gane siempre. Un par de ejemplos famosos son (no fue fácil demostrarlo):

- en el juego del conecta cuatro, si el jugador que empieza hace las mejores jugadas, gana seguro.




- en el juego de las damas, si los dos jugadores hacen las mejores jugadas, empatan seguro.




Reto del equipo de fútbol. (20 puntos)

Imagina que estás con nueve amigos más y vais a jugar un partido de fútbol cinco contra cinco. Otro amigo y tú sois los capitanes y os disponéis a hacer los equipos eligiendo, cada uno de vosotros dos, a cuatro jugadores más para vuestros respectivos equipos. Supongamos que los ponemos en fila como en la imagen:


Las normas para elegir a los jugadores son las siguientes:

- vais a elegir por turno, seleccionando a un jugador cada vez,

- tú eliges primero,

- cada jugador se apartará de la fila al ser elegido,

- en cada turno, el que elige (tú o el otro capitán), sólo puede seleccionar a uno de los dos jugadores que estén en los extremos de la fila. Por ejemplo, la primera vez tú has de decidirte obligatoriamente entre dos jugadores, el 8 y el 1. Supongamos que eliges al 8 (que se apartará de la fila); entonces al otro capitán le tocará elegir entre el jugador 7 y el jugador 1. Y así sucesivamente hasta el final.

Además, y aquí viene lo importante, los dos capitanes conocéis perfectamente cómo juegan al fútbol vuestros ocho amigos: vamos a suponer que llevan escritos en la camiseta los goles que han marcado en los partidos de otros días y que eso mide lo buenos que son:


Naturalmente, tú quieres elegir un equipo que sea mejor (que marque más goles), que el equipo rival que va a elegir el otro capitán.

Vamos a hacer una simulación. Supongamos que las elecciones son:

- tú eliges al jugador 1,
- el otro capitán elige al jugador 2,
- tú eliges al jugador 8,
- el otro capitán elige al jugador 7,
- tú eliges al jugador 6,
- el otro capitán elige al jugador 5,
- tú eliges al jugador 4,
- el otro capitán elige al jugador 3.

Como resultado final los jugadores de tu equipo (12+9+13+14=48 goles en total) son peores que los del rival (18+11+12+9=50 goles).

El reto es: encontrar (la hay) la estrategia que te permite seleccionar seguro a un equipo mejor que el rival.


Aclaraciones:

- Podéis jugar e inspiraros con el ejemplo de la imagen de arriba, pero no estoy pidiendo que deis una solución para esos ocho en concreto, sino una "receta", una regla para elegir siempre, sean los que sean los ocho jugadores, a un equipo mejor que el rival. Es decir, la regla que deis debería servir también para:


y para cualesquiera otros ocho jugadores.

- La solución es una regla, una simple frase que en versión corta se puede escribir en menos de 150 caracteres.

- En realidad hay casos en el que no se puede elegir un equipo mejor que el rival. Por ejemplo, si los ocho jugadores marcasen todos el mismo número de goles,


en ese caso los dos equipos resultantes serían iguales (20 goles cada uno). Vamos a suponer entonces que en realidad el problema es conseguir un equipo mejor o, en algunos casos en que eso no puede ser, que por lo menos sea igual que el rival.

A ver qué tal se os da. Como casi siempre en matemáticas, la solución es muy fácil de entender cuando a uno se la cuentan... lo difícil es encontrarla.


Reto extra. (1 punto)

La siguiente foto fue hecha en el antiguo estadio de "Las Gaunas" hace muuuuuucho tiempo (sus protagonistas tenían casi todos 13 años).


El reto consiste en que tenéis que acertar quién es el más guapo, listo, simpático, gracioso, ocurrente, bueno, noble, valiente... de esa foto, y claro, por eso era nada más y nada menos que el capitán.